Image0119 BMP

rzybl lżone rozwiązanie rozpatrywanego równania wyraża lig Ulem wzorem

3o) ygBn    .    ,    .    ,

ęslość prądu w płytce oblicza się na podstawie wzorów (9,71), otrzymując

1 3u    S wyB₀    ,

■fx= ~—=i ,,7^—ri;^(a ~-^¥ )>’■ g ciy i(a +b )

1 8u Stoyflo ,    ,

---irry-Tr^¹-/)-

g 8x    4(a +b )

a podstawie otrzymanych wyników można obliczyć straty wiroprądowe w płytce; znąjdujetny

U\

(H.II2)

trzymany wzór można stosować w przypadkach bardzo cienkich płytek o niewielkich rozmiarach sprzecznych.

L.4.3, Metoda Kantorowicza

Wyznaczymy przybliżone rozwiązanie u(x, y) równania Poissona w obszarze S ogra-czonym prostymi x=*a, x=b oraz krzywymi y=^(x), y=h(x) jak na rys. 11.6 przy dożeniu, że u(x,y)=Q na granicy tego obszaru. Jest to zatem przypadek szczególny igadnienia Diricbleta dla równania Poissona.

Ićł

0

Rys. 11.6. Obszar S ograniczony dwiema prostymi oraz tukami dwóch krzywych

x

Rozwiązanie rozpatrywanego zagadnienia brzegowego przyjmujemy w postaci

II

w(*.y)= Z a_k(x)u_k(x,y),    (11.113)

i-i

Izie: H*(jr, y) są znanymi funkcjami, które przybierają wartość zero na lukach krzywych =g(x) oraz y^h(x) ograniczających obszar S, natomiast a_k(x), k=l, 2, ..., n są nie-iadomymi funkcjami, które wyznacza się na drodze minimalizacji funkcjonału. Wy-ienie (11.113) różni się od zależności (11.102) stosowanej w metodzie Ritza tym, że >ecnie współczynniki a_k są funkcjami ~")Mirnr) "i umożliwia otrzymanie dokladniej-ego rozwiązania.

Podstawiając zależność (11.113) do funkcjonału (11.44) i dokonując cwlkuwanja wzglę-dcm zmiennej _r, nti/ymujcmy funkcjonał, który można przedstawić w po^taej ogólnej*

b

f /    da, da₂ da„\

I(a_t,a₂,    j G(x,fl,,a₂.....a„, -Jdx (_1Ui4)

a

zależnej od niewiadomych funkcji a_k(x).

układu równań Eulera

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcjonału (N.I14) jest spełnienie

dG	d	cG
da.	d.v	da\
dG	d	dG
da 2	dx	da'2
dG	d	SG
da„	dx	da’„

, =0,

= 0,

gdzie: a'_k= — ,    k—1,2,    Funkcje n_t(-v) wyznaczamy, rozwiązując ten układ

dx

równań różniczkowych przy warunkach brzegowych ii_k(a)-a_K(b)=0, k = 1,2, ..., n.

Przykład 3. Rozpatrzymy prostokątną płytkę metalową, omawianą w p. 11.2.3 i w przykładzie 2. Wyznaczenie prądów wirowych w tej płytce sprowadza się do znalezienia rozwiązania u(x, y) równania i Poissona (11.46), spełniającego warunki brzegowe (11.47).

Przybliżone rozwiązanie tego równania przyjmiemy w postaci

M v.

■ A f.v) cos

21,

(11.116)

powyższa funkcja jest równa zeru dla y = +l>.

Podstawiając zależność (11.116) do funkcjonału (11.110), otrzymujemy

mc

. . ,,d/t\'¹    2 tr*’    . ny    Jt/1 ,

!{A)= | | l ( — ) cos _vr J A' t.v) sin* — +j ho-raBo > < ¹ > cos _2/) li

a —b

^óxj    2 h 4 b‘    2 h

i wykonując całkowanie względem y znajdujemy w wyniku

i d >

HA) = b

K ?wnanie F.tilcra przybiera postać

Q"

di .

(11.117)

i II 11*1

r ó li i (f

(d A \

a, A ,    ■ I oznacza funkcję podcałkową całki występującej we wtór /r (11 II h N» |H>d

stawie wyrażenia (11.118) otrzymujemy równanie różniczkowe

tli 11*1

d.-l ft'    4(i))'u/)„

, /li t) .j

iii" 4/>    , rr