Image0023 BMP

po podstawieniu K«* -grad V. mamy

divgrad V

P

e

żyli

(2.30)

;dzie V² jest lapJasjanem (por. p. 1.2.2). Otrzymane równanie nazywa się równaniem *oissona.

Jeżeli w pewnym obszarze pola elektrostatycznego nie ma ładunku (p—0), to w punkach tego obszaru potencjał spełnia równanie Laplaee'a

W=0.    (2.31)

Wyznaczenie potencjału w polu elektrostatycznym sprowadza się do rozwiązania ównania Poissona lub Laplacea, przy spełnieniu określonych warunków brzegowych, żyli do rozwiązania zagadnienia brzegowego.

Można udowodnić, że wielkość (por. p. 2.2.3)

V(x, y, z)-    f * ’ ^y~ ^{Z )}-dx'dy’dz',    (2.32)

4neJ r

V

;dzie: r ~\j (x—x')² + {y—y')² +(z—z')² spełnia równanie Poissona w punktach obszaru w którym istnieje ładunek przestrzenny o gęstości p, a równanie Laplace’a — na zewnątrz tego obszaru, gdzie nie ma ładunku przestrzennego.

Z tego powodu wyrażenie (2.32) nazywa się rozwiązaniem podstawowym równania 'oissona i^Laplace’a.

,4.2. Pole dwuwymiarowe

W obszarze ograniczonym powierzchnią walcową o tworzących równoległych do osi i z układu współrzędnych prostokątnych znajduje się ładunek przestrzenny o gęstości która nie zależy od współrzędnej z. Przy założeniu, że długość układu w kierunku ist Oz jest nieskończenie duża, rozpatrywane pole nie zależy od współrzędnej z i jest akie samo w każdej płaszczyźnie prostopadłej do osi Oz. Otrzymujemy w tym przypadku >ole dwuwymiarowe, zależne tylko od współrzędnych jc, y, nazywane często polem płaskim. Ve wnętrzu obszaru, gdzie znajduje się ładunek przestrzenny, potencjał spełnia dwuwy-niarowe równanie Poissona

(2.33)

d²V_ 8²V _ p dx² dy~ £

i na zewnątrz tego obszaru — dwuwymiarowe równanie Laplace’a

8²v d²v

8x^{2 +} 3y²

0.

(2.34)

Można udowodnić, że podstawowym rozwiązaniem równać (2.33) i (2.34) jo*t

V (x, y) = - - f p(x', y')łn - - dx'dy',    (2.35)

2ite J    r

s

gdzie: S oznacza przekrój poprzeczny przez powierzchnię walcową, a r=V(*—* )^ł + 0'“/)* jest odległością punktu obserwacji od punktu źródłowego (rys. 2.7).

Potencjał określony wzorem (2.35) nazywa się potencjałem logarytmicznym.

Rys. 2.7. Przekrój poprzeczny przez powierzchnię walcową

*

2.5. Przykłady pól elektrostatycznych

2.5.1. Pole równomierne

i

W równomiernym polu elektrostatycznym wektor natężenia pola elektrycznego jest wielkością stałą (E=const). Linie tego pola są prostymi równoległymi, a powierzchniami ekwi potencjalnymi są płaszczyzny prostopadle do linii pola (rys. 2.8).

Rys. 2.8. Pole równomierne

Obliczymy napięcie u_AB między punktem A a punktem B w równomiernym polu elek trycznyin. Napięcie u_AB jest równe calce liniowej wektora E wzdłuż odcinka dowolne linii między powierzchniami ckwipotencjalnymi przechodzącymi przez punkty A i i wobec czego

u_AB= V_A — V_g — El—ErcQs8_t    (2.36

gdzie: r jest odległością punktów A i B, a /—r cos 6 jest rzutem odcinka r na kierunel linii pola.