Image0088 BMP

Po wykonaniu szeregu przekształceń, otrzymuje się dla mocy czynnej rozpatrywanego odcinka przewodu następujący wzór:

gdzie:

F2(U) = ^U—,

F₁(») = u

)^+2.....	(9.66)
sh 2u-f-sin 2 u
ch2u—cos2u ’	(9-67)
sh u —sin u
ch u + cos u	(9.68)

Rezystancję przewodu n obliczamy na podstawie wzoru P= /?/% wobec czego

R

+ 2»(n-l)F₂(A)].

(9.69)

Wyraz Ijahy jest rezystancją przewodu dla prądu stałego.

Ze względu na nierównomierny rozkład prądu zmiennego w przekroju poprzecznym przewodu, jego rezystancja przy prądzie sinusoidalnym jest większa ni* przy prądzie stałym.

9.6. Cienka płytka w poprzecznym polu magnetycznym

Płytka metalowa umieszczona jest w harmonicznym polu magnetycznym. Wskutek zmian czasowych lego pola indukują się w płytce prądy wirowe. Zakładamy, że płytka jest bardzo cienka, wobec czego można przyjąć, że pole nie zmienia się wzdłuż jej grubości. Pominiemy ponadto oddziaływanie prądów wirowych indukowanych w płytce na pole zewnętrzne, wskutek czego rozważania będą dotyczyć płytek o niewielkich rozmiarach.

Wprowadzamy układ współrzędnych prostokątnych y, c w ten sposób, że rozpatrywana płytka znajduje się w płaszczyźnie x,y (rys. 9.9). Niech £ł₀(.v, y) oznacza wartość zespoloną składowej normalnej indukcji magnetycznej w punktach płytki.

Rys. 9.9. Cienka płyta nie Ulowa w płaszczyźnie x,y układu współrzędnych prostokątnych

pr/y uwzględnieniu zależności (9.70). Zgodnie z twierdzeniem Slokesa mamy

(9.76)

(ięslość prądu ina dwie składowe J_x, 7_y będące funkcjami współrzędnych v, v. Rozpatrzymy funkcję skalarną u(x, y) określoną na płaszczyźnie t, y w obszarze ojcrailiczonym krzywą brzegową C płytki (rys. 9.9) i równą zeru w punktach tej krzywej. Załóżmy, że gęstość prądu w płytce wyraża się wzorem

9

(9.70)

tuł/ic: g jest grubością^pfytki. Obliczając składowe rotacji wektora 1. u(x, y), znajdujemy

(9.71)

(9.72)

bowiem J—yE, gdzie y jest konduktywnością płytki. Równanie (9.72) dla składowych wzdłuż osi Oz przybiera postać

rotj J = — jo>y B₀,

(9.73)

;zy!i

d/y dj_x

- - jooy 3₀,

3x dy

skąd po podstawieniu zależności'^s(9.71) otrzymuje się równanie Poissona

(9.74)

Równanie Poissorta (9.74) we współrzędnych biegunowych r, 0 przybiera postać

(9.75)

Zagadnienie obliczenia gęstości prądu w płytce sprowadzone zostało do wyznaczenia funkcji skalarnej u(x, y), równej zeru w punktach krzywej brzegowej płytki. Rozwiązaniem równania (9.74) dla płytki kołowej i prostokątnej zajmiemy się w p. 9.7.2 oraz w rozdz. 11.

W celu uzyskania interpretacji fizycznej funkcji u(x, y) rozpatrzymy powierzchnię ó o postaci paska o szerokości g, łączącego punkt A (x, y) płytki z dowolnym punktem P położonym na jej brzegu; pasek ten jest zakreskowany na rys. 9.9. Prąd przepływający przez powierzchnię S wyraża się wzorem

J ro*(1 -«)■ dS= J ul,-dl.

V