Image0040 BMP

>o\vicm zwrot wektora dl określony jest przez zwrot prądu / w przewodzie, /godnie ze wzorem (4.20), potencja! wektorowy wytworzony przez prąd i płynący w przewodzie jr/ybiera postać

<“ r di

4jt r

(4.23)

A(x, y

c

srzy czym drogą C całkowania jest oś rozpatrywanego przewodu, a r jest odległością dementu dl od punktu obserwacji (.x, y, z).

Jeżeli obszar v ograniczony jest powierzchnią walcową o tworzących równoległych 3o osi Oz układu współrzędnych prostokątnych, a prąd płynie w kierunku tej osi (J=I,/,), przy czym gęstość prądu nie zależy od zmiennej 2, to pole jest dwuwymiarowe i zależy tylko od zmiennych x, y. Potencjał wektorowy jest wówczas równoległy do osi Oz, czyli \=A_Z1_z i wewnątrz obszaru v spełnia dwuwymiarowe równanie Poissona

(4.24)

(4.25)

d²A_z d²A_z

"ś*^r+a?'

i na zewnątrz tego obszaru — dwuwymiarowe równanie Laplace’a

d²A_z d²A_z ~fa²⁺~d~y²~°'

Podstawowym rozwiązaniem tych dwóch równań jest (por. wzór 2.35) zależność

A_z(x, y) =    f J_z{x, /) In d.x'd/,    (4.26)

2ir J    r

s

gdzie: r = V(x—x')² + (.v —y')², a S oznacza przekrój poprzeczny walcowego obszaru 0.

Rozpatrzmy w obszarze pola magnetycznego powierzchnię S ograniczoną krzywą zamkniętą C. Strumień magnetyczny przez tę powierzchnię wyraża się wzorem

0— |B-dS = JrolA-dS,

s    s

bowiem B=rot A. Na podstawie twierdzenia Stokesa mamy

<f A ■ dl— j rot A ■ dS,

CIS}    s

wobec czego

(4.27)

<P — f A-dl.

C(S>

Oznacza to, że strumień magnetyczny przez powierzchnię S równa się calce liniowej po tencjału wektorowego wzdłuż krzywej brzegowej tej powierzchni.

4.3.3. Potencjał wektorowy pierścienia kołowego

Na rysunku 4.8 przedstawiony jest pierścień o promieniu R, wykonany z cienkiego przewodu i przewodzący prąd i. Wprowadzimy układ współrzędnych walcowych r, 0, 2. Ze względu na symetrię układu, potencjał wektorowy ma tylko składową A_e, czyli \ =

A

(4.28)

pd/ic:

/?•=>/z*+R² + r² — 2Rr cos 0,

.* dumą c:i(kowania jest oś pierścienia. Liniami pola wektora A są okręgi, których środki znajdują się na osi Oz; przykfadem jednej linii pola jest okrąg C na rys. 4.8.

Ponieważ df= RdO, a dl tworzy kąt 0 z wektorem A, więc rzut dl na kierunek tego wektora jest równy di cos 6, wobec czego wzór (4.28) można przedstawić w postaci

2rc

(4.29)

A=A„=-

fi₀Ri C    cosfldfl

.! yJz²+R²+r²—2Rrcosfl

Wprowadzamy zmienną całkowania

n—0

wobec czego

cos0=cos(ji—2ę>)= — cos2fł = 2 sin² <p — 1, a ponadto pu wykonaniu prostych przekształceń otrzymujemy

yJz²+R²+r²—2R r cos 9=——    sin² i

k

k²=-

4 Rr

z²+T«'+r)"²‘

i*

(4.30)

i

A /,

4ji

jR j’ 2 sin" <p-l ^k\ \ /    , ■ , ^d‘P'

’ ^r .1 v I — k¹ s i n' <p i"