391 2

391

8.ó. Równania różniczkowe cząstkowe

IŁifb) Wykazać, że rozwiązanie równania Poissona —P²u~f z warunkiem brzegowym ^0 „a dD minimalizuje całkę

ff l{Fuy-2fu']dxdy o

zbiorze wszystkich funkcji spełniających ten warunek brzegowy, je) Jakie równanie różniczkowe odpowiada minimalizacji całki

jj [p(Pu)²+gu²-2fu]dxdy, o

gdzie p,f i 9 danymi funkcjami x i y (p i g są dodatnie)?

Wskazówka. Wykorzystać tożsamość (8.6.18).

17. (a) Zbudować równanie dla rozwiązania zagadnienia

-u"(x)=/(x).    xe[0.1],    u(0) = a(l)=0

w sensie metody elementu skończonego. Przyjąć, że w (8.6.20) występują funkcje przedziałami liniowe. Przedział [0.1] podzielić na N podpnzedziałów o jednakowej długości. Potraktować /jako funkcję przedziałami liniowy. Wyniki porównać z rozwiązaniem różnicowym.

(b) To samo zrobić dla równania różniczkowego

d( du\

-Ix{^Pdi)^+eU-^fmi>-

18.    Sprawdzić podane w tekście wzory dla elementów macierzy i składowych wektorów z (8.6.27) i (8.6.28).

19.    (a) Wyznaczyć rząd i wartości własne operatora K określonego wzorem

x    ^u

(Ku)(x) = (cos(x+y) u (y)dy. o

(b)    Rozwiązać równanie całkowe (I-K)u= 1.

(c)    Podać rozwiązanie ogólne równania (Ku)(x) - cos x + zo: (a — stała), gdy rozwiązanie istnieje.

20, Jądro jest symetryczne, jeśli K(x, y)=K{y, x) dła wszystkich x,y. Czy macierze są wtedy symetryczne?

■* ^- Przybliżyć równanie całkowo-różmczkowe

du _ f

~di~]

K(x,y)u{y,t)dy=f(x,t)

skończonym liniowych równań różniczkowych zwyczajnych, korzystając z cał-^ov^nia TłBmerycznego i kołłokacji.