Image0121 BMP

Otrzymujemy żalem

f(x,y) + Z /« U *(a\ y-^x'’ v')dx'd/ = g(x, y).    (11.126)

n ■= I AS,.

Równanie (11.126) spełnimy w punktach (v,„. r,„), «i = 1,2, N, będących punktami iwnętrznymi (np. środkami) obszarów elementarnych A5'_m. 7e względu na przyjęte łożenie stałości funkcji f(x, ył we wnętrzu każdego obszaru elementarnego mamy r«,.i„,)=/„> wobec czego otrzymujemy

w

f_m+ Z /»ff r,,,.*'. jr )tlA'd.1-' = <?„,    (11.127)

n " 1 A*S„

(11.128)

(11.129)

(11.130)

(11.131)

^hf) '

Równanie (11.127) można przedstawić w postaci

^ ^ntnJrt 3trt i ^    1,2 , .. _ł j\ ,

fr ~ |

rie:

Ki::: ~    ¹ j J ( 'v _;._p . A - '• )ÓX d_| -

AS„

:y C2ym m, rt —1.2,____.V. zaś

I ₌jl, gdy m = n. [0, gdy m^n

tacza tzw. deltę Kroneckera.

Zależność (11.127) przy /n=l,2, A^; przedstawia układ ,V równań z N niewiado-mi /, ,/₂, ... ,/ń, który można przedstawić w postaci macierzowej

(11.132)

rozwiązaniu tego równania otrzymujemy przybliżone wartości /j ,/₂,    funkcji

,.!') w poszczególnych obszarach elementarnych AA,, A.V₂,    , A.S_V, wyznaczając

cn sposób przybliżone rozwiązanie równania całkowego (11.123) w obszarze S. Obli-iia numeryczne wykonuje się przy zastosowaniu maszyn cyfrowych, ze względu na ą liczbę niewiadomych.

Opisana metoda przybliżonego rozwiązywania równań całkowych jest bardzo prosta koncepcji i umożliwia otrzymanie przybliżonego rozwiązania obarczonego pewnym leni. Istnieją metody zapewniające większą dokładność, jednak wymagają one stoso-lia szeregu pojęć z zakresu teorii liniowych przestrzeni funkcyjnych.

W celu ilustracji metody równań całkowych, rozpatrzymy dwa przykłady.

Bardzo cienka płytka metalowa (folia) o postaci prostokąta znajduje się w płaszczyźnie v, i’ układu współrzędnych prostokątnych (rys. 11.7). Przyjmujemy, że grubość płytki jest równa zeru. Rozpatrywana płytka jest naładowana, a gęstość ładunku powierzchniowego oznaczymy /7(.\-,n). Zakładamy, że przcnjkalność otaczającego środowiska jest

r fi w na r:_u.

Potencjał w punkcie (v, r. a) wywołany pr/e/ ładunek na płytce wyraża się wzorem

u h

(11.133)

I i" f    rr('.y'. r')d.\'dr'

ł'(.v. ,i\ => =

4tre₀ J .! s't v — ai- - r')³ + e³

— a—b

przy czym x', r' są zmiennymi całkowania. Biorąc pod uwagę, że potencjał płytki jest wielkością stał:; i',,, otrzymujemy [8J

tl i*

f f nt.v'. r'')d.\'dy'

--------=4itc₀ Po,    (11.134)

J J v(-\" - .V') ‘ - r < r- v" )²

Bowiem na powierzchni płytki r —0. Otrzymane równanie jest równaniem całkowym l-rediiołma pierwszego rodzaju.

Dzielimy płytkę na ;V jednakowych elementów prosto! ąlnyeh AS,-: AS₂, ....AS„,

oznaczonych na rys. II.- cyframi 1.2,    , .V. Dzieląc boki 2a oraz 2h odpowiednio na

Rys. M S. O/iiiie/enii; obszarów elementarnych