Image0110 BMP

ic z, fi‘st "iliilr, i-/yU

(11 16)

Pierwszo równanie jest równaniem Bessela, a jego rozwijaniem ogólnym jo.i finkcja

R„(r) = ti„J_s>(r^f7„) + b„N₀(r^k_r) ,    (11.37)

ie: y₀(.v) oraz (V₀(a) są funkcjami Bessela rzędu zerowego, odpowiednio pierwszego i drugiego ^faju. Ponieważ |A/o(.v)|-*«> dla jr-rO, więc w celu otrzymania rozwijania skończonego dla r=0, ^;ży przyjąć A„ = 0. wobec czego

RAr) = a„J₀(ry/l,).    (11.38)

> wykorzystaniu wzoru /_u(.v)--./j(.v), gdzie J, (,v) jest funkcją Bessela pierwszego rodzaju,

U pierwszego, mamy

d A‘„

.    V¹ j^-ji J | ( / \j /-u ) .

dr

dnie z warunkiem brzegowym (11.341 dla z-- a, otrzymujemy równanie

J!(<; y/i„) = 0,

(cc nieskończenie wiele pierwiastków-. Niech x„, n = 0, I, 2..... oznacza kolejne nieujemne pier-

tki równania Ji (a)=0, przy czym a o -- 0; mamy zatem

a v z.,, - -v„,

cc czego

h-0,1,2....    (11.39)

a

keja /?„(r) przybiera zatem postać

(11.40)

K„i i) = a„ J„ ^ .v„j , O < r < a,

nie ze wzorem (U.38). Funkcjami własnymi rozpatrywanego zagadnienia są funkcje J„| ^f ,

',1,2,...

Rozwiązaniem równania różniczkowego (11,36) dla Z„(z) przy A„ ze wzoru (11,39) jest funkcja

Z„f.T) = <'„ch ^V"^Z+r/„sh’^V"' ■

ii    «

lienic warunku brzegowego (11.34) dla ;= -li wymaga, aby funkcja

, A,i . Aj, “    , -1« ^rJ ^?

A„!z) = c„    sh ■    +,(ji ch -

aa    aa

parzysta względem z, co uzyskuje cię przy e„ = 0; mamy zatem

01.4I)

Z„( :) = sh ‘ , -Acz < h.

a

Rozwiązanie omawianego zagadnienia przybiera zatem postać

(I l .42 i

Pt r. ■-)- L fl„ sh '" “ ./_n I ’ A„\ + «„ z + P₀,

„i    u \ "    /

sh'^u -shO 0. ii

i

Różniczkując otrzymane wyrażenie względem - znajdujemy

t" V    1    '1    ,t„ c    /    r    \

v ⁼    Ąa-Y*ch- -A] I • .V,,) f/i_n,

riz    a n = i    a    \    <i    j

a na podstawie warunku ferzegowego (11.34) dla z~ +h, olrzymujcmy

y 1-    v„ h I r \

Ł B„ ,v„ eh ■    J₍,    .v„ t I yf!„ . [ i > j.

u ». i    a    V u j

gdzie:

(11.43)

/

1_n dla    0< r < h_y

ti/r

0 dla    h <. r < a.

Funkcję F(ń przedstawiamy w postaci szeregu Fouriera w/ględem ciągu ortogonalnego |y₀ ( _a *-))

lmon u'fr \ = r* /namv

z wagą iv(r) = r; mamy

F(r) = A_lt -e V A„ J„ i v„)= 1 A„ J„ i ,1    0 < r < a,

n - 1    Wf / n - 11    1 U I

bowiem y(i(r_n) = -/o(0)= 1. Współczynniki A„ w tym szeregu przedstawia

(11.44)

w/ur

er    A

n    f]

(11.45)

zgodnie z zależnością (11.11), przy czym i>„(r)=./₍i j' ■ v„j , zaś u-0, 1, 2, ... Kwadrat normy ciągu {i’„(r)} dla h”0, 1,2,... wyraża się wzorem

przy uwzględnieniu zależności podanej w p. 12.4 oraz równości -1|(.y„)-0. Współczynniki A„ dla n— =11,2,.,. obliczamy na podstawie wzoru (11.45) przy wykorzystaniu wzoru podanego w p. 12.4; w wyniku otrzymujemy

zt.-

21 ^Ji (•!*")

Itull ^1, ii )

>!= I

W przypadku h = 0 mamy

h

i r ,    ¹

zln= , - , I rdr =

*ń²|K1|²J    ««'

Z porównania równań (11.43) oraz (11.44) znajdujemy

*4o = yRn •