Image0074 BMP

gd/ic: T o/.iuic/u okres omawianych wielkości.

Podstawiając składowe wektora W_f z wyrażeń (8.1), otrzymujemy przy uwzględnieniu zależności

T

1

2

o

T

0

j* sin^z(eut+ ęódf

wyrażenie

Wartość skuteczna wektora sinusoidalnie zmiennego w czasie równa się zatem normie wektora zespolonego, czyli

8.2. Równania pola elektromagnetycznego w postaci zespolonej

Niech E, D, J, H, B oznaczają wektory zespolone natężenia pola elektrycznego, indukcji elektrycznej, gęstości prądu, natężenia pola magnetycznego oraz indukcji magnetycznej. Podstawmy E ^2e^,a', D ^2 e^j<ot, J ^2 e^Jro', H ^2 e^Jo>t oraz B ^2 e'"' do równań Maxwella (1.67) i (1.68) na miejsce wektorów E, D, J, H, B, otrzymujemy:

(8.11)

rot(H _v^/2e^j‘°')=JV2c^J"^t+—(D ^2 e⁵"'), rol(E V2e^j“^>,)= —    (B 7^ e^i<w).

Równania te są oczywiście prawdziwe dla części urojonych wielkości zespolonych typu W e^J"', które — zgodnie ze wzorem (8,6) — są równe wartościom chwilowym odpowiednich wektorów. Oznacza to spełnienie równań Maxwel!a dla wartości chwilowych.

Wykonując w zależnościach (8.11) różniczkowanie względem czasu oraz uwzględniając, że rotacja jest operacją zawierającą różniczkowanie względem zmiennych przestrzennych, mamy

e^imt 72 rot H = J 72 e^im+jmD 72 e^j"', e^j“^ł 72 rot E= - j(nB 72 e*”'.

Po podzieleniu tych równań stronami przez    otrzymujemy równania Maxwella

w postaci zespolonej

(8.12)

(8.13)

rotH= J+jołD, rotE= — jmB.

Zaletą tych równań jest to, że nie występuje w nich czas t, a wektory zespolone charakteryzujące harmoniczne pole elektromagnetyczne są tylko funkcjami współrzędnych punktu pola.

Postać całkowa równań Maxwella w postaci zespolonej wyraża się wzorami

§ Hdl= f J -dS+jta J D*dS,    (8.14)

C(S)‘    s    s ‘

f E-dl=-j" fB-dS,    (8.15)

C (S)    s

gdzie: C oznacza krzywą brzegową powierzchni 5, poszczególne całki w tych równaniach oznaczają napięcie magnetyczne, prąd przewodzenia, strumień elektryczny, napięcie

(elektryczne), strumień magnetyczny w postaci zespolonej (por. p. 1.4). Wielkość ja) { D ■ dS

s

jest postacią zespoloną prądu przesunięcia.

W podobny sposób otrzymuje się postać zespoloną pozostałych równań harmonicznego pola elektromagnetycznego.

Prawo Gaussa w postaci różniczkowej wyraża się wzorem

divD=p,    (8.16)

gdzie: p jest wartością zespoloną gęstości ładunku przestrzennego.

Postać całkową tego prawa przedstawia zależność

$ D dS= j>du,    (8.17)

S<*>)    c '

gdzie; S oznacza brzeg obszaru u.

Bezżródłowość pola magnetycznego wyraża wzór różniczkowy

(8.18)

✓

(8.19)

divB&°0

lub wzór całkowy

$BdS=0.

s

Wzory przedstawiające proporcjonalność odpowiednich wektorów przybierają następującą postać zespoloną:

D=cE,    (8.20)

t

J=?E,    (8.21)

(8.22)

B=/tH

Podstawiając powyższe zależności do równań Maxwella (8.12) i (8,13) w postaci zespolonej, otrzymujemy

rotH=(y+jax;)E,    (8.23)

rolE=—jeopH.    (8.24)

Gdy y jest bardzo duże w porównaniu z oje{y:>we), wówczas pomija się wyraz j< a; w pierwszym równaniu Maxwella, co jest równoznaczne z pominięciem prądów przesunięcia.