Image0094 BMP

wiroprądowych w omawianym ukfnd/ic. Załóżmy, żc puramclry charakteryzujące oba środowiska są stale, wobec czego badany układ jest liniowy. Przypuśćmy, żc omawiany układ jest nieskończenie długi w kierunku osi przewodów, co umożliwia traktowanie pola elektromagnetycznego jako dwuwymiarowego, zależnego jedynie od współrzędnych ,v, z układu współrzędnych prostokątnych, przedstawionego na rys. 9.14. Przyjmujemy następujące oznaczenia:

s_t,s₂, — powierzchnie obejmujące przewody J, 2, n i znajdujące się w środowisku nieprzewodzącym bardzo blisko odpowiedniego przewodu,

— powierzchnia w środowisku nieprzewodzącym bardzo blisko śdany metalowej, s_p — powierzchnia walcowa o promieniu p obejmująca wszystkie przewody. Omawiane powierzchnie ograniczają obszar i>*w środowisku nieprzewodzącym.

Na podstawie twierdzenia Poyntinga stwierdzamy, że moc zespolona S„ związana z obszarem v jest równa strumieniowi zespolonego wektora Poyntinga wnikającemu do wnętrza przez granicę -f(u) tego obszaru, czyli

S.* $ [ExH*]• ( - ds) = — $ [ExH*]-ds,    (9.U2)

przy założeniu, że ds ma kierunek normalnej zewnętrznej, wobec czego wektor — ds ma kierunek normalnej wewnętrznej. Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego otrzymujemy zatem

S. = - f div [E x H*] de.    (9.113)

V

W każdym punkcie obszaru u, włącznie z jego granicą, kooduktywność środowiska równa się zeru, wobec czego I równanie Manwella wyraża się wzorem rot H=0. Tożsamość wektorowa

div [E x H*] =H* • rotE-E-rot H*

przybiera zatem postać

div[E x    -rotE,

a po podstawieniu E=E₍—grad V, otrzymujemy

di v [E x H*]=H* - rot E,,    (9.114)

gdzie: E| jest natężeniem indukowanego pola elektrycznego. Wnioskujemy stąd, że

div[ExH*]=div[E_ixH*].    (9.115)

Po podstawieniu wyrażenia (9.115) do zależności (9.113), znajdujemy

5,= - $ [E₍xH*]-ds,    (9.116)

s (u)

zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego. Oznacza to, że moc zespolona związana z obszarem v zależy od natężenia Ej indukowanego pola elektrycznego.

Podstawiając rot E_;= —    otrzymane z II równania Maxwella przy uwzględ

nieniu zależności rot E„,= - rot grad V=0 (por. p. 9.1), do wzoru (9.114), mamy

div[Ex H*] = -jtOjUg J|h|[² ,

/godnie z wyrażeniem (9.113). Wynika stąd, że moc zespolona .S„ związana z obszarem v wyraża się liczbą urojoną. Fakt ten jest oczywisty z fizycznego punktu widzenia, bowiem straty mocy w nieprzewodzącym obszarze u, a więc i moc czynna, są równe zeru. Gdy powierzchnia walcowa s_p oddala się do nieskończoności, wówczas moc zespolona

«S₀= limS^

dotyczy całego środowiska nieprzewodzącego nad pól nieskończoną ścianą metalową i wyraża się również liczbą urojoną,

Mog zespoloną ze wzoru (9.116) można przedstawić w postaci

t Ą-S-S,,    (9.H7)

przy czym

S_t—— J [Ej x H*] • ds,    fc-1,2,    , n    (9.118)

9k

oznacza strumień mocy zespolonej wnikający do środowiska nieprzewodzącego przez powierzchnię przewodu k-tego, natomiast

5= f[E₍xH*]ds    (9.119)

Sm

przedstawia strumień mocy zespolonej wnikający do wnętrza ściany stalowej przez jej powierzchnię graniczną.

Wielkość

S,= f[EjxH*]'ds    (9.120)

jest strumieniem mocy zespolonej przez powierzchnię walcową s_p.

Można udowodnić, że strumień mocy S_p ze wzoru (9.120) zanika, gdy powierzchnia walcowa s_p oddala się do nieskończoności, czyli

limS_p = 0.

p** CO

Przechodząc do granicy p~* co w równaniu (9.117), otrzymujemy zatem

s₀= t S_k-S.    (9.121)

*= i

Straty wiroprądowe P w pólnieskończonej ścianie stalowej są równe części rzeczywistej mocy zespolonej S, wobec czego na podstawie równania (9.121) znajdujemy

P=Re( £ S_k),    (9.122)

bowiem moc zespolona S₀ przybiera wartość urojoną. Obliczenie strat wiroprądowych / w ścianie stalowej sprowadza się zatem do wyznaczenia strumieni mocy zespolonej wnikających do środowiska nieprzewodzącego przez powierzchnię graniczną każdego przewodu,