Image0009 BMP

zodnic /c wzorem (1,20) Oznuczu to, >c wektory grud tp oraz, dr są do siebie prosto-adłe. Ponieważ wektor dr wybrany został dowolnie na powierzchni ę (*, y, e) = const, ięc wektor grad tp jest prostopadły do powierzchni ekwiskałarnej.

Obecnie przypuśćmy, że wektor dr jest normalny względem powierzchni ekwiskalar-,'j 1 zwrócony w' stronę rosnących wartości tp. Na podstawie wzoru (1,20) łatwo spraw-zić, że wektor grad ę jest zwrócony w stronę wzrostu tp, czyli od punktu o niniejszej artości p do punktu o większej wartości ę, co odpowiada kierunkowi największego zrostu skalara tp. Wektor — grad ę skierowany jest oczywiście w stronę zmniejszania ę tp.

Obliczymy składową grad₍ tp gradientu wzdłuż osi l tworzącej kąty a, fi, y z osiami % Oy, Oz układu współrzędnych prostokątnych. Składowa wektora wzdłuż osi jest aitem tego wektora na tę oś, wobec czego

dę    dę    dę

grad, f = -~- cosa+ -■ cos/! +    cosy,    (1.21)

dx    dy    dz

uwiera pochodne cząstkowe są składowymi gradientu. Biorąc pod uwagę, że równanie >i / można przedstawić w postaci

.v = x₀ + / cos a, y=y₀+lcosp, c=z₀ + /cosy,

Irzytnujemy

dA    dy    dz

cosa, y-=cosp, =cosy,

po podstawieniu do wzoru (1.21), mamy

dtp dz dz di

dtp djc dę d y

grad, tp—----j---------

3x di dy di

Wyrażenie znajdujące się po prawej stronie tej równości jest pochodną — funkcji tp w kie-

d /

inku osi l, wobec czego składowa gradientu wzdłuż osi l wyraża się wzorem

grad, ę= —■■    (1-22)

di

rzyjmując za oś / kolejno osie Ox, Oy. Oz układu współrzędnych prostokątnych, otrzy-lujemy składowe gradientu jak w zależności (1.17).

Gradient jest operacją, która funkcję skalarną ę przekształca na funkcję wektorową rad ę.

2.2. Strumień wektora. Dywergencja wektora

W obszarze r okicślone jest pole wektorowe, a wektor A (a, y, z) jest funkcją różnicz-owulną w tym obszarze. Niecli ,Y oznacza powierzchnię w rozpatrywanym obszarze, lenient d.V tej powierzchni przedstawiamy w postaci wektora dS normalnego względem tego element u (i>^s I •■łłi wartością (mmi .1) wektora dS jest pole pi>w:er/ilmi elementu iiS. Wielkość /l,d.V A d.Y = A dS pt/obławia strumień elementarny wektora A przez powierzchnię d.S'. Strumieniem wektora A przez, powierzchnię S nazywamy całkę

Rys. 1.4. Powierzchnia 6' w polu wektorowym

powierzchniową

jA-dS.

s

Strumień wektora przez powierzchnię jest skalarem.

W ceiu uzyskania interpretacji fizycznej strumienia wektora załóżmy, że A jest wektorem prędkości cieczy nieściśliwej w pewnym obszarze. Strumień wektora A przez powierzchnię S przedstawia ilość cieczy przepływającej w ciągu jednostki czasu przez tę powierzchnię.

Strumień wektora A przez powierzchnię zamkniętą S przedstawiamy w postaci

i A • dS.

ś

Zakładamy przy tym, że wektor dS ma zwrot normalnej zewnętrznej. Strumień wektora wypływający na zewnątrz przez granicę obszaru jest dodatni, a strumień wpływający — ujemny.

Dywergencją lub rozbieżnością div A wektora A nazywamy granicę, do której dąży strumień wektora A przez powierzchnię zamkniętą 5, będącą brzegiem obszaru Av, podzielony przez objętość tego obszaru, gdy ta objętość dąży do zera, czyli

<f A-dS

div A=-........ (1.23)

Ac

Całka | A *dS przedstawia strumień wektora A przez granicę obszaru Ac i charak-

ś

teryzuje wydaj iość źródeł pola wektora A, znajdujących się we wnętrzu tego obszaru. Z tego powodu wzór (1.23) przedstawia gęstość przestrzenną źródeł w obszarze pola. Dywergencja jest wielkością skalarną.

Dywergencja jest operacją przekształcającą wektor A pola na wielkość skalarną div A. Określenie dywergencji nie zależy od przyjętego układu współrzędnych, jednakże postać wzoru dla div A zależy od tego układu.

Obliczmy div A w układzie współrzędnych prostokątnych. W tym celu rozpatrzmy prostopadłościan o krawędziach równoległych do odpowiednich osi układu współrzędnych prostokątnych (rys. 1.5) i obliczmy strumień przez powierzchnię tego prostopadłościanu.