Image0010 BMP

Strumienie wektora A pr/e/ lewą i prawą ścianę boczną prostopadłościanu wynoszą (rys. 1.5):

-■ .-I J v . c, r) Ar A.:    nra/. A p v ą Ax , r . i-)Ar Ac ,

Rys. 1.5. Obszar elementarny w polu wektorowym

przy czym znak minus przyjęto dla strumienia wpływającego do wnętrza obszaru. Strumień wektora A przez obie rozpatrywane ściany wynosi

[/)*(* + Ax,y ,2)~^(.y, y, r)] AvAz = - - *AyAyAz,

ox

zgodnie ze wzorem Taylora. Strumienie wektora A przez pozostałe ściany prostopadłościanu są równe

3A_y    dA_z

AxAvAz oraz —AxAyAz. dy    dz    *

Wobec tego strumień wektora A przez wszystkie ściany prostopadłościanu jest równy

3A_t\

]AxAyA2.

^/dA_x dA_r

+ l ₊ .

ę ox dy oz

Biorąc pod uwagę, źe objętość omawianego prostopadłościanu równa się At>=A.v Ar Az, więc na podstawie wzoru (1.23) otrzymujemy

div A=

dA. dA_z dy dz

(1.24)

Wzory dla div A w innych układach współrzędnych podane są w dodatku (p. 12.1).

Załóżmy, że funkcja skalarna p(x,y,z) jest dwukrotnie różniczkował nu v\ obszarze v; mamy

zgodnie zc wzorami (1.241 i (1.18), czyli

(1.25)

divgrad ę = V²ę,

gdzie:

V²ę> =

d²ip d²tp d^l(p óx^{5 +} dy¹ + dz¹

(1.26)

jest t/.w. tuphisjanem skatara ip.

Nieśli (' o/nac/a krzywą w polu wkiMimuni A. 1'leincnl Al tej krzywej przedstawiam; w postaci wektora dl. którego zwrot określony jest przez kierunek przesuwania się w/dlu; krzywej (rys. Składowa slye/.nu wektora A do krzywej ("jest równa .1, = .(cosa wobec czego .l,il/== A dl. Całkę liniową wektora A wzdłuż krzywej C przedstawia wzó

f A,di~ f A- (i>. ć    c

Jeżeli A oznacza silę, to całka liniowa wektora A wzdłuż krzywej C jest równa prac wykonanej przez tę siłę wzdłuż omawianej krzywej. Całkę liniowa wektora A w/dlu krzywej zamkniętej przedstawia się w postaci

j A.-di;

całka ta nazywana jest czasem cyrkulacją wektora A wzdłuż krzywej C.

Rys. 1.6. Krzywa C w polu wektorowym

Przypuśćmy, że krzywa C jest brzegiem powierzchni elementarnej AS, zaś n jest noi malną w punkcie tej powierzchni. Zwrot dodatni tej normalnej określamy na podstawi reguły śruby prawoskrętnej, zwanej również regułą korkociągu, jako zwrot ruchu posty powego, który odpowiada zwrotowi ruchu obrotowego wzdłuż krzywej C (rys. 1.7).

n

C

Rys. 1.7. Podpo-i . ądkow ruchu postępowego i ('Obowi obrotowemu

Określimy obecnie rotację wektora, zwaną także wirowością wektora i oznaczali symbolem rot A. Rotacja wektora jest również wektorem, wobec czego rotacja jest o pi racją, która przekształca wektor A na wektor rot A. Składową rotacji wektora A w kii runku normalnej do elementu AS nazywamy granicę, do której dąży iloraz całki liniow

1

i*