Image0083 BMP

Zależność rezystancji i indukcyjnnśct wewnętrznej przewodu od częstotliwości prądu ilustruje rys. 9.3 oraz tabela 9.1, obliczona dla r₀=2 mm, y-= 56-10® S/m, fi=p_Q. Stwierdzamy, że rezystancja przewodu zwiększa się, zaś indukcyjność wewnętrzna maleje ze wzrostem częstotliwości.

Rys. 9.3. Zależność rezystancji i indukcyjności wewnętrznej przewodu od pulsacji prądu

9.3. Walec metalowy w poprzecznym polu magnetycznym

Nieskończenie długi walec metalowy o promieniu r₀ umieszczony jest w równomiernym polu magnetycznym o indukcji zespolonej B₀. Linie pola są prostopadłe do osi walca, wskutek czego pole to nazywamy poprzecznym. Zmiany czasowe pola magnetycznego wnikającego do wnętrza walca wywołują przepływ prądów zwanych prądami wirowymi.

Wprowadzamy układ współrzędnych walcowych r, 8, z w ten sposób, że oś Oz stanowi oś walca (rys. 9.4). Niech y, p oznaczają konduktywność i przenikalność magnetyczną walca, a przenikalność otaczającego środowiska jest równa .

Bo

Rys. 9.4. Nieskończenie długi walec metalowy w poprzecznym polu magnetycznym

Przyjmujemy, że potencjał wektorowy ma tylko składową A_x zależną od współrzędnych r, 0, wobec czego A_:(r, 0). Równanie (9.3) dla potencjału wektorowego wewnątrz valca przybiera w tym przypadku postać

;dzie:

V²A_x = k²A_f, 0^r^r„,

(9.25)

(9.26)

W obszarze na zewnątrz walca (środowisko nieprze wodzące) spełnione jest równanie (d.27) z k =0, a więc równanie Laplace’a ma postać

(9.28)

wobec c/cgo

^l-Ur^<U'\+ ' ^d*^A'-k*A

r 3rV <>/ r¹ o&²

c/yli

d²A_z l dA_z 1 d²A.

'■>-2"⁺—-r- ⁺ -2"_s£ ^{= kA}*’ 0<r<r_o. dr    r dr r* dd

(9.27)

d²A_z 1 8A_Z I 8²A,

⁺V~d7⁺^'do²~^{0,    r>r}°'

Rozwiązanie dla obszaru wewnątrz walca przyjmujemy w postaci

Ą_xl =/(>■) sin 9,    0 ^r^r₀.    (9.29)

Po podstawieniu wzoru (9.29) do równania (9.27), otrzymujemy równanie różniczkowe

. d²/ . 1 óf

dr² r dr

(k² + -*₂)/(r) = 0,

(9.30)

będące równaniem Bessela, a jego rozwiązaniem jest

/W-C./jtfrHCjIC.Otr),    (9.31)-

gdzie: C,, C₂ są stałymi całkowania, zaś JJz) oraz K_{{z) oznaczają zmodyfikowane funkcje Bessela pierwszego rzędu, odpowiednio pierwszego i drugiego rodzaju. Ponieważ |K,(kr)j-» -*ce, gdy r-*0, więc w celu otrzymania rozwiązania skończonego dla r = 0 musimy przyjąć C₂ = 0, w'obco czego

/(r^C.lJkr),

Potencjał wektorowy we wnętrzu walca metalowego przybiera zatem postać

A_zl = C! i^krjsinfl, 0^r^r₀.    (9-32)

Indukcję magnetyczną wewnątrz walca wyznacza się na podstawie wzoru B = rotA:

(9.33)

(9.34)

1 dA_zl C,

B,_t =----- =-I Jkr) cos 0,

r dO r

_R ^dd*i _r - d/,(fcr)

vr    dr

wobec czego

Be i = - C₂ — [/ _a(k r) + /₂(kr)] sin (?,

bowiem gdzie tjz) jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju, rzędu drugiego.