Image0008 BMP

IVll

l₍. I,. 1,

Axl|. zl₍. zł,., A, .

i/),, n_y. n_t

(Ul)

.1.4. Pochodna i całka wektora

/a lóż my, że wektor A jest ('u n kej 4 /.mierniej /, czyli

A(l) — /!.,(() 1 _c + A_y{ () l_y + /lj(t) 1-,

(1.12)

funkcje A_x((), A_y{t), A_:(() są funkcjami różniczkowalnymi. Pochodną wektora A(l) rZględem zmiennej t określamy za pomocą wzoru

, dA A(t-t-A/)-A(0 A (() = — = Hm

dr ai *o Al

(U3)

dA

'ochodna - wektora A jest wektorem styc/uym do linii zakreślonej przez koniec wek-d /

ma przy zmianie / (rys. 1.3).

A7':

Rys. 1.3. Geometryczna interpretacja pochodnej wektora

Różniczkując wzór (l.l) względem ł, otrzymujemy

dA d,4,

d/1_v dd.

' 1 ,'!■    ^ł1„4-    “ f..

dl dl dt d/

(1.14)

W podoimy sposób można określić pochodne wyższych rzędów wektora A względem mierniej 1.

Wzory dla pochodnej sumy, iloczynu skalarnego i wektorowego wektorów są mis tępiące:

d    dA dB

(A + (I) = ■    +

dt

d

di “dI dA

dB

(A 11)=    11 +A

df    df    dl

d    dA    dB

(A B)- x B-e A x ilt    df    dr

(1.15)

ł alin wrklom A(/) jol wrklorrm, którego składowe «( całkami składowych -4.(r), tui. 4,(t >. i /yli

i    t    t    i

J Aiit - I, ( /UMdf ł l_r J /l_r(/)df t 1, J A,U)di.    (1.16)

< •*    *n    (|)    <(i

/r .t.iwinne podstawowydi w/orów algebry weklorowcj podane jest w dodatku (p. ♦ .‘li

1,2, I’ik1s1 uwowe wzory i twierdzenia analizy wektorowej

IM t.riulicnt skidura

W ni's/ar/e i określona jest skalarna funkcja p fa , y. c), różniczkowa!na w każdym piinkiir tępo obszaru względem zmiennych x, y. z. Każdemu punktowi o współrzędnyeh i. . wewnątrz lego obszaru podporządkowujemy wektor A o składowych

dę	df A,= ,	df A.=
dx	' Oy	dz

(1-17)

t ik irslony w ten sposób wektor nazywa się gradientem skalara p, wobec czego

df

dz

dę    df

grad f — l_x

dx    oy

HI ładówe gradientu zależy od zastosowanego układu współrzędnych. Wzór (1.18) <i,lno'i się do układu współrzędnych prostokątnych. Wzory dla innych układów współ-t/\diHth podane są w dodatku.

I'unktv. w których funkcja p (.v, y, z) ma wartość sialą, położone są na powierzchni,

(waitci i><iwterichnią ek\\iska!arn<{ <p (x, z) = const.

HiOtm/ka funkcji <p wyraża się wzorem

(1.19)

dz,

i) f    df    dę

dp= , dzc+    dy +

vx    dy    oz

można przedstawić w postaci iloczynu skalarnego

dp = grad p dr,    lł.20)

0 d/ir

dr — 1 _vd* ł l,.dy -f- l_:dz

l>(/iil-.lawia elementarny wektor o długości dr i o początku w punkcie pola o wspotr/ęd-mo h i. W/ór (1.20) przedstawia przyrost dp wielkości skalarnej ę wzdłuż dr.

I'i/\piiscins, że wektor dr znajduje się na powierzchni ekwiskalarncj p(v.r,z)-• ,*iti-t. wobec czego przyrost dp wzdłuż dr równy jest zeru, czyli