3544073664

1.3. Metody rozwiązywania równań różniczkowych rzędu pierwszego

1.3.2. Równania sprowadzalne do równań o rozdzielających się zmiennych

Równanie postaci

(1.4)

gdzie f:R—>R ciągła, jest równaniem jednorodnym.

W równaniu (1.4) wprowadzamy nową zmienną zależną

y

u = —,

x

skąd

y! = u + xv!.

Po wstawieniu do (1.4) i rozdzieleniu zmiennych mamy:

dw da:    ...

= — V f(u) = u V x = 0.

f(u) — u x

W równaniu

= /(ax + by + c) da:

wprowadzamy nową zmienną zależną

(1.5)

u = ax + by + c.

Dalej postępujemy analogicznie jak w przypadku (1.4). Natomiast w równaniu ,    / aix + biy + ci\

^{V J} \a₂x + b₂y + c₂)

(1.6)

przy założeniu że det ^ai f¹ ^ 0 i /: R —* R jest funkcją ciągłą, wprowadzamy L <*2 o₂ J

nowe zmienne: niezależną £ i zależną 77, jak poniżej

fx=£+a

\y=v+P '

gdzie a i (3 spełniają układ równań

f aia + 6i^ + ci =0 \ a₂a + b₂P + C2 = 0

Łatwo sprawdzić, że równanie (1.6) przyjmie postać równania jednorodnego

d??    . /ai£ + 6irĄ

d£ ¹ V^a2? + forj) '

11