3544073670

1.3. Metody rozwiązywania równań różniczkowych rzędu pierwszego

1.3.4. Równanie Bernoulliego

Równanie Bernoulliego ma następującą postać

y'+ p(x)y = q(x)y^r    (1.9)

gdzie: p, q G C^t], r £ R\{ 0,1} (dla r e {0,1} równanie (1.9) jest liniowe).

Przy dokonanych założeniach, istnieje jednoznaczne rozwiązanie równania (1.9) przechodzące przez punkt (xo,yo), gdzie Xq e]a, b[ i yo ^ 0 (lub yo > 0).

Konstrukcja rozwiązania

Dzielimy obie strony równania (1.9) przez y^r, a następnie wprowadzamy nową zmienną zależną z = y^l~^r.

Równanie (1.9) przyjmuje postać

—¹— z’ +p(x) z = q(x).

1 — r

Jest to równanie liniowe niejednorodne.

Przykład 1.7. Rozwiązać problem początkowy Cauchy’ego (a) i (b):

y’ - 2xy = 2x³y²    (a)

!/(0) = 1    (b)

Dzielimy obie strony równania przez y²

1    .    1    ^ o

—zy - 2x- = 2x^ó,

y² y

następnie wprowadzamy nową zmienną z = —, stąd

zatem

z’ + 2x2 = —2x³.

Po rozwiązaniu (patrz podrozdz. 1.3.3) 2 = Ce~^x2 + 1 — x²,

czyli

1

Ce~^x2 + 1 — x²

17