3544073666

1.3. Metody rozwiązywania równań różniczkowych rzędu pierwszego

Rozwiązując układ

f a + 0 - 2 = 0 \a - 0 + 4 = 0

otrzymujemy a = — 1, 0 = 3.

Dokonując zamiany zmiennych

f z=ę - i

\ !/=<) + 3

otrzymujemy równanie jednorodne ($ + tj)dę + (ę-t;)d») = o.

Całkując to równanie po uprzednim przedstawieniu rj = uĘ, otrzymujemy

e + 2rt-r,²=C.

Wracając do zmiennych x i y, mamy ostatecznie całkę ogólną wyjściowego równania w postaci

x² + 2 xy — y² — 4x + 8y — C.

Rozwiązań osobliwych nie ma.

Zadania

Rozwiązać równania:

i '₌ ^x+y

^y    x

2.    ydx + (2y/xy — x)dy = 0

3.    xdy — ydx = ydy ^ dx dy

' y+x y-x _    da:

dy

2x² — 2xy + 2y²    y² —

1 — 3a: — 3y 1 +x + y 7. (2a: — y + 4)dy + (x — 2y + 5)dx

6. y' = ^:

0

Rozwiązać problem początkowy Cauchy’ego:

8.    {x² + y²)dx — 2xydy = 0, y(4) = 0

9.    (y + \Jx² + y²) da: — xdy = 0, y( 1) = 0

10. Znaleźć krzywą, dla której trójkąt, utworzony przez oś Oy, styczną i wektor wodzący punktu styczności, jest równoramienny.

13