3544073668

1.3. Metody rozwiązywania równań różniczkowych rzędu pierwszego

Całkę szczególną równania (1.7) można znaleźć metodą uzmienniania stałej. Przewidujemy, że funkcja postaci

Vi = C(x)e~^pM,

gdzie C € C^l[a,b], jest rozwiązaniem równania (1.7).

W celu znalezienia funkcji C(x), wstawiamy yi do równania (1.7). Otrzymujemy

C'(x)e~^p^ = q(x), skąd

C(x) = j_q(_X)e^ d*.

Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego (1.7) jest sumą całki ogólnej równania liniowego jednorodnego (1.8) i całki szczególnej równania liniowego niejednorodnego (1.7).

Zatem

j/ ₌ e-P(«) |c₊ I_q(_x)e^pW^d*^ .

Przykład 1.5. Rozwiązać równanie redy + (x² — y)dx = 0.

Zapiszmy to równanie w postaci równoważnej

(s)    — — = —x V (b) x = 0.

dre x

Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne

dy_y₌₀

dx x

Całką ogólną tego równania jest funkcja y = Cx.

Niech yi = C(x)x będzie całką szczególną równania (a). Wstawiając yi do (a) otrzymujemy C'x = —x, stąd C(x) = —x. Zatem całka ogólna rozważanego równania jest następująca

y = x(C - x).

Z warunku (b) wynika, że rozwiązaniami są również półosie x = 0 (y ^ 0).

15