MF dodatekA26

Aneks A .7 Przybliżone metody rozwiązywania równań 271

Dla zlokalizowania pierwiastków korzystamy ze twierdzenia Darboux (por. wniosek A.3.1). Natomiast najprostszą metodą uściślania wartości pierwiastków przybliżonych jest metoda równego podziału.

Metoda równego podziału

Dane jest równanie f(x)=0, przy czym funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b> oraz zachodzi nierówność f(a)f(b) <0.

W celu wyznaczenia pierwiastka równania f(x)=0 zawartego w przedziale <a,b> dzielimy ten przedział na połowy f x_s =^-(a + b) J.

1

1

1

Jeżeli f(-±-(a+b))*0, to z przedziałów (a,^(a+b));(^-(a+b),b) wybieramy

ten na którego końcach funkcja f(x) ma różne znaki. Następnie dzielimy na połowy nowy zawężony przedział <a-|, b₁> i od nowa rozpatrujemy w nim wartości i znaki funkcji f(x) itd. W konsekwencji takiego postępowania otrzymujemy albo pierwiastek dokładny, albo ciąg zstępujących przedziałów <a_n, b_n> dla n=1,2,... takich, że

A(7.2) A(7.3)

A(7.4)

f(a_n)f(b_n)<0

oraz    b_n-a„=-L(b-a).

2"

Ciągi {a_n}, {b_n} są monotoniczne i istnieje ich wspólna granica x₀ = lim a_n = lim b_n .

n —»<x>    n —

Przechodząc w nierówności A(7.2) do granicy otrzymujemy [f(x₀)]²SO,

a stąd wynika, że f(x₀=0), a to oznacza, że x₀ jest pierwiastkiem równania f(x)=0.

3. ”f” b

Dla oszacowania błędu bezwzględnego przybliżonego pierwiastka x= ¹¹ ₉ dla n=1,2,... możemy skorzystać z nierówności

A(7.5)