MF dodatekA22

Aneks A.5

Wzór i szereg Taylora

267

gdzie:

R„=H)

n+l X

, te (0,1).

n(l + tx)"

Szeregiem Taylora funkcji f nazywamy szereg postaci

f;£^_(x__x„)^f_(xo)₊£^o)(_x-_xo)₊£%)_(x._xo)^,...

k=0

k!

1!

2!

Dla x=0 szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina.

Twierdzenie A.5.2.

Jeżeli funkcja f: (a,b) h>R jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w przedziale (a,b) i dla dowolnych xe(a,b), lim R_n(x)=(), gdzie R_n(x) jest resztą w

rozwinięciu Taylora rzędu n funkcji f w otoczeniu punktu Xo, to

n=0

f(x)=j/-- ^~(x-x₀)ⁿ dlax, Xq6(a,b).

Oto rozwinięcia najważniejszych funkcji w szereg Maclaurina

dla xe R

2    3

^x -1+2L4.X_4.2^4.

^e 1!    2!    3!

A(5.9)

2    3    4

ln(l + x) = x-^-+^---—

dla xe (-1,1)

A(5.10)

(l + x)“=l + gdzie:

a

:X +

“ x²+ “ |x³+... dla xe(-1,1), cceR A(5.11)

aAa(a-l) ... (a-k + 1)

k r    kT

dlaaeR, keN

jest rozszerzeniem na liczby rzeczywiste symbolu Newtona n! n(n-l)(n-2) ,..(n-k+l)

V^k 7

kl(n-k)!

k!