str171 (3)

WANIA § 5. WYZNACZANIE ROZWIĄZANIA RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO RZĘDU 171

» obu stron równania (1).

linki początkowe (1'), otrzy-

fb_

hA²’

Laplace’a oraz wzór (3.2),

|.

ine rozwiązanie ie przekształcenie Laplace’a.

Zgodnie z wzorem (1.6) mamy

(3')    L(y")—L(y')—6L(y) = 2L(1).

W myśl wzoru (1.8) otrzymujemy

(4)    L (/') = S²L (y) - Sy (+0) - y\+0),

(5)    L(y') = SL(y)-y(+0).

Z tablicy przekształceń odczytujemy

1

(5')    ^L^⁼s"    (P°^r- ^wiersz !)•

Uwzględniając związki (4), (5), (5') oraz warunki początkowe (2) w równaniu (3'), otrzymujemy po przekształceniach

(6)

a stąd

(7)

(S²-S-6)L(y) = S-\+j,

L(y) =

S²—S+2 S(S —3)(S + 2)'

Rozkładając prawą stronę na ułamki proste, mamy

(8)

L(y) =

118    1,4    1

J J ⁺ V5 Ś^3 ⁺ J' S + 2^-

Stosując we wzorze (8) obustronnie przekształcenie odwrotne względem przekształcenia Laplace’a, mamy

Z tablic odczytujemy (por. wiersz 1 i 2):

Podstawiając związki (10) do wzoru (9), otrzymujemy szukane rozwiązanie

y = -ł+TT^+Te'²'.

Zadanie 5.5. Znaleźć rozwiązanie równania

(1)    y^(8> + 2y⁽⁶⁾ — 2y" — y = 0, spełniające warunki początkowe

₍₂₎    y (0) = y"( 0) = y⁽⁴⁾(0) = y⁽⁶⁾(0) = 0,

y'(0) = 2,    y^<3)(0) = 2,    y^<5)(0) = -1,    y⁽⁷⁾(0) =11.