str167 (3)

§ 5. WYZNACZANIE ROZWIĄZANIA RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO RZĘDU n 167

Biorąc po obu stronach wzoru (5.9) odwrotne przekształcenie Laplace’a otrzymujemy korzystając ze wzoru (3.2):

§ 5. WYZNACZANIE ROZWIĄZANIA RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO RZĘDU n 167

(5.10)

oS" + a₁S" ' + ... + 0,

+ L~

*(-

V»o

1

S" + a₁S"^-1 + ... + a_l

Jest to szukane rozwiązanie równania (5.1) przy warunkach początkowych (5.2). Reasumując powyższe widzimy, że metoda oparta na przekształceniu Laplace’a składa się z następujących etapów:

1° Równanie różniczkowe liniowe rzędu n (5.1) przy warunkach początkowych (5.2) sprowadzamy do równania liniowego algebraicznego (5.6) z jedną niewiadomą. Niewiadomą tą jest L[y{ty\ , czyli transformata Laplace’a szukanego rozwiązania wyrażona wzorem (5.9).

2° W równaniu (5.9) bierzemy następnie przekształcenie odwrotne Laplace’a otrzymując rozwiązanie (5.10) równania różniczkowego (5.1) przy warunkach początkowych (5.2).

3° Oryginały odpowiadające poszczególnym składnikom po prawej stronie wzoru (5.10) znajdujemy najczęściej bądź z tablicy transformacji Laplace’a, bądź też stosujemy kombinację użycia tablicy transformacji z jedną z pozostałych metod cytowanych w § 4.

Warto podkreślić, że przy rozwiązywaniu równania różniczkowego metodą przekształcenia Laplace’a jest obojętne, czy dane równanie różniczkowe jest jednorodne, czy też niejednorodne. Na tym właśnie polega praktyczne znaczenie metody Laplace’a z jednej strony; z drugiej strony na tym, że daje ona od razu rozwiązanie równania różniczkowego przy danych warunkach początkowych. Dodajmy, że klasyczna metoda rozwiązywania równania (5.1) przy warunkach początkowych (5.2) wymaga znalezienia oddzielnie całki ogólnej równania jednorodnego, następnie całki szczególnej równania niejednorodnego, wreszcie takiego doboru stałych dowolnych, aby spełnione były dane warunki początkowe. Przy równaniach różniczkowych rzędu wyższego niż pierwszy prowadzi to do uciążliwych rachunków.

Zupełnie analogicznie można rozwiązywać układy równań różniczkowych liniowych o współczynnikach stałych przy danych warunkach początkowych. Stosując mianowicie do takiego układu metodę przekształcenia Laplace’a, sprowadzamy ten układ do układu równań liniowych, którego niewiadomymi są transformaty Laplace’a szukanych rozwiązań. Zatem także w przypadku rozwiązywania układu równań różniczkowych liniowych metoda przekształcenia Laplace’a jest o wiele korzystniejsza od metody klasycznej. Ta ostatnia już w przypadku układu dwu równań z danymi warunkami początkowymi prowadzi do skomplikowanych rachunków.

Zadania przykładowe

Zadanie 5.1. Rozwiązać równanie

(1)    /(t)+3y(t) = 5t²+2t+4 przy warunku początkowym

y(0)=l

(2)