8 (21)

147

Szeregi potęgowe

Dowód. NiechO < e < R. Jeżeli |x| <R, to |c„x"| < jc„(R—e/l, a ponieważ szereg £c,i * •(/?—e)^B jest zbieżny bezwzględnie (każdy szereg potęgowy na mocy kryterium Cauchy’ego jest zbieżny bezwzględnie wewnątrz swego podziału zbieżności), więc z twierdzenia 7.10 wynika jednostajna zbieżność szeregu (3) na przedziale <—R+e, /?—£>.

Ponieważ $/n-* 1 przy n-* co, mamy lim sup ^/njcj fi lim sup tak więc szeregi (4) i (S) mają ten sam przedział zbieżności.

Szereg (5) jako szereg potęgowy jest zbieżny jednostajnie na przedziale <—/?+£, R—e} przy każdym dodatnim e < R i wobec tego możemy stosować twierdzenie 7.17 (w sformułowaniu twierdzenia ciąg można zastąpić szeregiem). W takim razie (S) jest spełnione, jeżeli tylko |x| < Rr-s. Lecz dla każdego x takiego, że |x| < R, istnieje e > 0 takie, że |x| < R—e. Zatem (5) jest spełnione jeżeli tylko |x| < R—e.

Ciągłość funkcji/wynika z istnienia pochodnej/' (twierdzenie 5.2).

WNIOSEK. Jeżeli spełnione są założenia twierdzenia 8.1, to funkcja f ma pochodne wszystkich rzędów na przedziale (—R, R), przy czym

(6)    f^(k\x) =,£«(«--1) (n - 2)... (n—k+ l)c«x" w szczególności

(7)    /«(Q) = k\c_k (k = 0,1,2, .„)

(/<⁰⁾ oznacza tutaj funkcję / a/^w — fc-tą pochodną funkcji / przy k = 1,2,3,...).

Dowód. Równość (6) otrzymamy stosując kolejno twierdzenie 8.1 do funkcji / następnie do itd. Podstawiając w (6) x = 0, otrzymamy (7).

Wzór (7) jest bardzo interesujący. Wynika z niego, że z jednej strony współczynniki rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy są wyznaczone przez wartość funkcji fi jej pochodnych tylko w jednym punkcie, z drugiej strony, że jeżeli dane są współczynniki, to wartości funkcji i jej pochodnych w środku przedziału zbieżności mogą być bez trudu odczytane z postaci szeregu.

Zauważmy jednak, że z tego, iż funkcja/ ma pochodne wszystkich rzędów, nie wynika jednak, że szereg £c„x¹', którego współczynniki obliczymy według wzoru (7), będzie zbieżny przy jakimś x # 0. W takim przypadku funkcja/ nie może być przedstawiona jako suma szeregu potęgowego zbieżnego w otoczeniu punktu x = 0. W istocie, gdyby zachodziła równość/(x) =    c", wtedy byłoby n!a„ = /"(0); zatem a_H = c„. Przykład tej sytuacji jest

podany w zadaniu 1.

Jeżeli szereg (3) jest zbieżny na końcu przedziału zbieżności, powiedzmy w punkcie x = R (oczywiście wtedy R < oo), to funkcja / jest ciągła nie tylko na przedziale (—R, R), lecz również w punkcie x — R. Wynika to z następującego twierdzenia Abela (dla prostoty zapisu przyjmiemy R = 1).

8.2. TWIERDZENIE; Niech szereg będzie zbieżny. Określmy