0207

209

$ 4. Najprostsze równania różniczkowe

to wartość staiej C = C₀ jest przez to wyznaczona. Podstawiając tą wartość we wzorze (2) otrzymujemy rozwiązanie szczególne naszego zadania, tzn. konkretną funkcją y = /(x), która nie tylko ma z góry daną pochodną, ale także spełnia warunki początkowe (3).

Cząsto jednakże zdarza sią, że trzeba wyznaczyć funkcją y = y (x) z bardziej złożonej zależności postaci

F{x,y,y’,y",...) = 0,

wiążącej wartości zmiennej niezależnej z wartościami samej funkcji y i z wartościami jej pochodnych y\ y",... Związki tej postaci nazywają się ogólnie równaniami różniczkowymi.

Rozważmy równanie pierwszego rzędu

(4)    F{x,y,y') = Q, które zawiera tylko pierwszą pochodną y'.

Rozwiązaniem tego równania nazywa sią dowolna funkcja y = y (x), która spełnia je tożsamościowo względem zmiennej x. Można udowodnić przy pewnych założeniach o funkcji F, że rozwiązanie ogólne tego równania, podobnie jak w prostszym przypadku wspomnianym na początku [patrz (2)], także zawiera dowolną C, tzn. ma Dostać

(5)    y = ą> (x, C).

Czasami jednakże rozwiązanie to otrzymujemy w postaci uwikłanej 6)    #(x,y, 0 = 0 lub V (*, y) = C.

Znajdowanie ogólnego rozwiązania równania różniczkowego w tej lub innej postaci nazywa się całkowaniem równania.

Dla przykładu rozpatrzymy takie zadanie: znaleźć krzywe, których podnormalna jest stała. Jeśli równanie takiej krzywej ma postać nieuwikłaną y = y (x), to zadanie sprowadza się do znalezienia takich funkcji, które spełniają równanie yy' = p, gdzie p = const [230, (3)]. Równanie to napiszemy w postaci (y¹)' = 2p\ jasne jest teraz, że ogólnym rozwiązaniem jego jest funkcja

(7)    y² = 2px+C lub y = ± y^,2px+C.

W ten sposób żądanemu warunkowi czyni zadość cała rodzina parabol, które otrzymuje sią jedną z drugiej przez przesunięcie wzdłuż osi x.

Odpowiedzią na zadanie jest td właśnie rozwiązanie ogólne, ponieważ należało znaleźć wszystkie krzywe spełniające wspomniany warunek. Gdybyśmy w zadaniu zażądali dodatkowo, żeby krzywa przechodziła przez dany punkt (x₀, y₀), to podstawiając te wartości do znalezionej równości (7), wyznaczylibyśmy wartość stałej C:

Co = yj-2y*o .

Podstawiając w (7) C = C₀ dochodzimy do rozwiązania szczególnego y² = 2px+C₀, które daje już konkretną krzywą.

Trzeba zaznaczyć, że najczęściej zdarza się tak, iż zadanie, które doprowadziło do równania różniczkowego, wymaga konkretnego rozwiązania szczególnego. Zazwyczaj takie rozwiązanie określone jest przez warunki początkowe typu (3), wysunięte przez samo zadanie. Te warunki umożliwiają przede wszystkim ustalenie wartości stałej C = C₀, którą otrzymujemy, podstawiając w rozwiązaniu ogólnym (5) lub (6) * = *₀ i y = yo- Jeśli teraz w tym rozwiązaniu ogólnym podstawimy znalezioną wartość C₀ w miejsce C, to otrzymamy rozwiązanie szczególne, które spełnia warunki zadania.

358. Równanie stopnia pierwszego względem pochodnej. Rozdzielanie zmiennych. Załóżmy teraz, że w równaniu (4) występuje tylko pierwsza potęga pochodnej y', tzn. że równanie ma postać

P(x,y)+Q(x,y)y' = 0,

dy    .

gdzie P, Q są funkcjami dwóch zmiennych * i y. Podstawiając tu y' = sprowadzimy nasze równanie

14 Rachunek różniczkowy