13. Taksonomia modeli wyceny opcji 385
Na marginesie
Równanie różniczkowe to po prostu równanie zawierające pochodne. Jeśli występuje W' nim tylko jedna zmienna niezależna, pochodne są pochodnymi zwykłymi, a równanie jest zwykłym równaniem różniczkowym. Takim zwykłym równaniem różniczkowym może być na przykład równanie dy/dx = 0,8. Jeśli są dwie zmienne niezależne (lub jest ich jeszcze więcej), pochodne są różniczkami cząstkowymi, a równanie nazywane jest równaniem różniczkowym cząstkowym. Zauważmy, że równanie 13.9 jest równaniem różniczkowym cząstkowym, ponieważ zawiera za-równo dC/dS, jak i c)C/dt.
Aby zorientować się nieco w rozwiązywaniu takich równań, przyjrzyjmy się podanemu wyżej zwykłemu równaniu różniczkowemu dy/clx = 0,8. Równanie to stwierdza, że pochodna funkcji jest stała -równa 0,8; mówi nam więc, że tangens kąta nachylenia wykresu funkcji y do osi x jest stały i równy 0,8. Innymi słowy, z naszego równania wynika, że wykres funkcji y jest linią prostą, nachyloną do osix pod kątem, którego tangens wynosi 0,8. Takich prostych jest jednak nieskończenie wiele - która z nich jest poprawnym rozwiązaniem naszego równania? Aby ją zidentyfikować, potrzebujemy „warunku brzegowego”, ustalonego punktu jednoznacznie wyznaczającego szukaną prostą. Jeśli zatem wiemy, że przy x' = 0 wartość y = 2, to jedynym poszukiwanym przez nas rozwiązaniem będzie fu n kej a y = 2 + 0,8x.
Zauważmy, żc kiedy określaliśmy równoważną stopę zwrotu dla zabezpieczonego portfela, przyjęliśmy tylko jedno założenie w sprawie preferencji uczestników rynku: jeśli dwa walory stanowią doskonale substytuty, muszą przynosić tę samą stopę zwrotu - ponieważ w pełni zabezpieczony portfel nie wiąże się z żadnym ryzykiem, musi przynosić wolną od lyzyka stopę zysku. Skoro zatem nic przyjęliśmy żadnych założeń odnośnie preferencji w'ykazywanych przez uczestników rynku w związku z ryzykiem, model wyceny implikowany przez równanie 13.9 musi być inwariantny względem preferencji w sprawne ryzyka. Wynika stąd, że jeśli uda nam się znaleźć rozwiązanie naszego równania różniczkowego dla określonej struktury preferencji, musi być ono również rozwiązaniem tego problemu w każdej innej strukturze preferencji, która w ogóle dopuszcza rozwiązanie.
W celu rozwiązania równania 13.9 wybierzemy zatem strukturę preferencji upraszczającą stronę matematyczną zagadnienia: przyjmiemy, żc wszyscy uczestnicy rynku są obojętni na ryzyko. W świecie obojętnym na ryzyko oczekiwana stopa zwrotu wszystkich aktywów byłaby równa. Bieżąca cena opcji kupna odpowiada więc w nim wartości bieżącej oczekiwanej ceny opcji kupna w dniu