Zarz Ryz Finans R1393

13. Taksonomia modeli wyceny opcji 393

mocą kursu wymiany w transakcjach natychmiastowych oraz stopy procentowej dla waluty obcej (Garman i Kohlhagen), albo za pomocą kursu wymiany w kontraktach forward (Grabbc).

Opcje złożone. Black i Scholcs uświadamiali sobie fakt, że opcja na kapitał własny firmy jest w istocie opcją złożoną. Zauważyli oni, że kapitał własny firmy emitującej obligacje przypomina opcję kupna na wartość aktywów; tak więc opcja na jej kapitał własny jest opcją wystawioną na opcję na wartość aktywów. Analityczny model wyceny opcji złożonych został przedstawiony przez Roberta Geske w 1979 r. Geske zauważył, że fundamentalny problem, jaki napotyka próba wyceny opcji złożonych za pomocą modelu Blacka-Scholesa, polega na tym, iż model ów zakłada stałą wartość wariancji, podczas gdy w przypadku opcji akcyjnych wariancja zależy od poziomu cen akcji (a więc zasadniczo od wartości firmy). Model opcji złożonych daje w porównaniu z modelem Blacka-Scholesa wyższe wartości skrajnej opcji nie posiadającej wartości wewnętrznej i krótkim czasie do wygaśnięcia oraz niższe wartości opcji o skrajnie dodatniej wartości wewnętrznej.

Opcje zależne od ścieżki zmian ceny akcji. W roku 1979 Barry Goldman, Howard Sosin i Mary Ann Gatto rozważali wycenę europejskiej opcji kupna, w której cena wykonania jest równa minimalnej cenie akcji w okresie ważności opcji - dziś nazywa się ją opcją ex post (lookback option). Jak pokażemy w rozdziale 15, opracowano szereg modeli wyceny opcji uwzględniających nie tylko opcje ex post, ale również inne, dla których wyceny istotną rolę odgrywa ścieżka zmian ceny akcji - opcje na średnie ceny i opcje barierowe (opcje pojawiające się przy wzroście, znikające przy spadku i im podobne). Wiele spośród tych modeli uważa się za intelektualną własność zastrzeżoną, toteż poświęcono im mniej publikacji⁷.

Opcje amerykańskie. Analityczny model wyceny amerykańskich opcji akcyjnych został opracowany przez Richarda Roiła (1977), Roberta Geske (1979) oraz Roberta Whalcya (1981). Jak pokazano w równaniu 13.21, rozwiązanie analityczne uwzględniające poprawkę na przedterminowe wykonanie opcji wymaga rozwinięcia wzoru Blacka-Scholesa w taki sposób, by obejmował nie

^; Zdarzają się wyjątki. Mark Garman (1988) przedstawi! model wyceny opcji ex post w „Risk” (październik 1988), s. 16-19. A. G. Z. Kemna i A. C. F. Vorst (1990) podali model dla opcji na średnie geometryczne w artykule A Piicing Method for Options Basecl on Average As.se/ IA/lnes, „Journal of Banking and Finance” 14 (marzec 1990), s. 113-124.1 wreszcie - choć niektóre techniki wyceny opcji na średnie arytmetyczne są uważane za zastrzeżoną własność intelektualną -Stewart Turnbull i Lee Wakeman (1991) przedstawili metodologię wyceny europejskich opcji na średnie ceny bieżące.