Zarz Ryz Finans R1381

13. Taksonomia modeli wyceny opcji 381

Na marginesie

Lemat Ito

dt

dS

2 as

dC= ~ dS + dS

Lemat Ito to reguła różniczkowania zmiennych losowych, których zmiany można opisać jako proces Ito. Jeśli przebieg cen akcji jest zwykłym procesem Ito, to rentowność akcji można przedstawić jako:

^- = \xdt+adZ

gdzie p i a są stałymi, dt oznacza zmianę czasu, a dZ jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, w którym wartość średnia wynosi zero, a wariancja jest równa dt. Mnożąc obie strony tego równania przez S, uzyskujemy:

dS = \iSdt + aSdZ

Wartość oczekiwana oraz wariancja dS dane są wzorami:

E\dS] = \xSdt Var[dS]= a²S²di

Jak zauważyliśmy powyżej, wartość opcji kupna akcji jest funkcją ceny akcji oraz czasu pozostałego do wygaśnięcia opcji:

C = C(S, t)

Chcemy obliczyć wpływ przyrostowych zmian S i t na wartość opcji kupna, tzn. C(S + AS,t + At) - C(S, t). Aby uzyskać C(S + AS, t + At), stosujemy przybliżenie polegające na rozwinięciu w szereg Taylora do rzędu drugiego:

C (S + AS, t +At) = C(S ,t) +

, dC dC „    1 d²C .

+ — At + — AS + - (AS)

A zatem:

dC — C(S + AS, t +At)— C (S, t) +

+ At + ^ AS +    (AS)²

dt dS 2 dS~

oraz interpretując (AS)-'jako wariancję dS:

dt 2 as²

dt

dC=—dS + dt

dc    i d²c

dt    2 dS²

dt

(13.3)

Warto przyjrzeć się, jak dekompozycja zmiany ceny opcji kupna wygląda na wykresie. Ilustracja 13.2 obrazuje pierwszy składnik ze wzoru 13.3. W przypadku niewielkich zmian ceny akcji (dS), odpowiednia zmiana ceny opcji jest dana tangensem kąta nachylenia stycznej (dC/dS) pomnożonym przez zmianę ceny akcji (dS). Drugi składnik wzoru 13.3, związany ze zmianą czasu do wygaśnięcia opcji, jest przedstawiony na ilustracji 13.3. Przy danej cenie akcji (S_(l) skrócenie czasu do wygaśnięcia zmniejsza wartość bieżącą ceny wykonania. Tak więc - wobec równania 13.3 - skrócenie czasu pozostałego do wygaśnięcia