Zarz Ryz Finans R1397

13. Taksonomia modeli wyceny opcji 397

W modelu tym każde rozgałęzienie drzewka odpowiada zbiorowi zdyskontowanych cen obligacji, a drzewko jest skonstruowane w taki sposób, by odzwierciedlało ceny obligacji obserwowane na rynku. Podobnie jak w modelu Rcn-dlemana-Barttera zakłada się jednak, by wszystkie stopy procentowe - zarówno w transakcjach natychmiastowych, jak i w kontraktach forward - miały tę samą zmienność.

Model zaproponowany w roku 1990 przez Fischera Blacka, Emanuela Dermana i Williama Toya stanowił rozwinięcie modelu Ho-Lee poprzez określenie zmiennej w czasie struktury zmienności o(/). Ponieważ zaś model Blac-ka-Dermana-Toya opiera się na malejącej krzywej zmienności, uwzględnia odwrócenie średniej^l0.

Metodologia skończonej różnicy

Metoda ta została zaproponowana po raz pierwszy przez Eduardo Schwartza w 1977 r., a rozwinięta przez Georgesa Courtadon w roku 1982.

Polega ona na numerycznym rozwiązaniu równania różniczkowego, które musi spełniać cena opcji; oznacza to, że równanie różniczkowe przekształca się w układ równań różnicowych, które rozwiązuje się metodą iteracyjną. Warto chyba posłużyć się obserwacją Michaela Brcnnana i Eduardo Schwartza i interpretować tę metodologię jako metodę drzewka trójmicmowego. W 1990 r. John Hull i Alan White przedstawili jej modyfikację gwarantującą zbieżność z rozwiązaniem odpowiedniego równania różniczkowego.

Symulacje Monte Carlo

Kłopot z wyceną opcji polega na tym, że jej wartość jest określona przez wartość oczekiwanej waloru w dniu wygaśnięcia opcji. Przyjrzeliśmy się jak dotąd trzem różnym sposobom podejścia do tej oczekiwanej wartości: modele analityczne w rodzaju modelu Blacka-Scholesa oraz ich późniejsze modyfikacje sprowadzają się do sformułowania i rozwiązania stochastycznego równania różniczkowego. Modele drzewka nie wymagają rozwiązania stochastycznego równania różniczkowego, ponieważ określają konkretny proces zmian ceny waloru pierwotnego (proces dwumianowy), a następnie prowadzą do ustalenia wartości opcji metodą iteracyjną. Metodologia skończonej różnicy polega na zastąpieniu równania różniczkowego serią równań różnicowych.

¹⁰ W tym samym roku John Hull i Alan White (1990) zaproponowali model rozwinięty jeszcze bardziej, mianowicie obejmujący nie tylko zmienną w czasie strukturę zmienności a (r), ale również inną funkcję czasu 9>(t), co umożliwia niezależne ustalanie zmienności krótkoterminowych i długoterminowych stóp procentowych. Model ten występował w kontekście metodologii skończonej różnicy, którą omówimy dalej.