Zarz Ryz Finans R1380

380 Zarządzanie ryzykiem finansowym

Ilustracja 13.1. Ciągły proces Ito

Ilustracja 13.1 przedstawia - na podstawie powyższych definicji - przykładowy wykres zmiennej losowej S, której przebieg w czasie jest ciągłym procesem Ito.

Kiedy w rozdziale 12 analizowaliśmy uproszczoną metodę wyceny opcji, zauważyliśmy, że podstawowe dla niej jest pojęcie portfela w pełni zabezpieczonego - portfela arbitrażowego - skonstruowanego z akcji i opcji kupna. Wartość takiego portfela (V_H) można wyrazić wzorem:

V_H = Q_sS + QC    (13.1)

gdzie S oznacza cenę akcji, C - cenę europejskiej opcji kupna jednej akcji, Q_s - liczbę akcji w portfelu, a Q_c - liczbę opcji kupna.

Zmiana wartości portfela, czyli różniczka tej wartości (dV_H), jest po prostu równa:

dV_H = Q_sdS + QdC    (13.2)

Zauważmy, że z równania 13.2 wynika, iż ponieważ liczba opcji i akcji w każdej chwili są dane, zmiana wartości portfela wynika ze zmian wartości obu tych walorów: dS i dC.

Jak odnotowaliśmy w tabeli 13.1, założyliśmy, że przebieg ceny akcji jest ciągłym procesem Ito; istnieje zatem konkretne matematyczne wyrażenie na dS. Wiemy, że cena opcji kupna jest funkcją ceny akcji i czasu do wygaśnięcia opcji. Potrzebne nam matematyczne wyrażenie na dC. Daje nam je lemat Ito. Jak wskazano dalej, lemat Ito przedstawia wzór na różniczkę funkcji zmiennych, których przebieg jest procesem Ito.

Najważniejszym wnioskiem płynącym z lematu Ito jest to, że zmianę ceny opcji kupna dC można wyrazić jako sumę dwóch składników, z których jeden odnosi się do zmiany ceny akcji, a drugi - do zmiany czasu do wygaśnięcia.