Zarz Ryz Finans R1378

Rozdział 13

Taksonomia modeli wyceny opcji¹

W 1973 r. Fischer Black i Myron Scholes opublikowali pierwsze ogólne równoważne rozwiązanie problemu wyceny opcji. Wychodząc z założenia, że z akcji i opcji kupna da się skonstruować portfel bezpieczny, autorzy ci wyprowadzili model analityczny, dający wartość europejskich opcji kupna akcji przy braku możliwości arbitrażu jako funkcję ceny akcji, ceny wykonania opcji, czasu do wygaśnięcia opcji, wolnej od ryzyka stopy procentowej oraz wariancji ceny akcji. Model Blacka-Schołesa mógł stanowić pewien punkt odniesienia dla transakcji, a tym samym był osiągnięciem przełomowym, umożliwiającym szybki rozwój rynku opcji.

Model Blacka-Scholesa uważany jest często albo za koniec, albo za początek całej historii. W istocie jednak jest jednym i drugim. Jest końcem w tym sensie, że rozwiązuje problem, z którym ekonomiści zmagali się od przynajmniej trzech ćwierćwieczy. Jest też początkiem, ponieważ zrodził się z niego cały szereg uogólnień i rozszerzeń.

W tym kontekście model Blacka-Scholesa najlepiej ujmować jako drzewo genealogiczne modeli wyceny opcji. Analogia drzewa genealogicznego pozwala nam wskazać w obrębie rodziny modeli wyceny opcji trzy główne plemiona: modele analityczne, modele numeryczne i modele aproksymacji analitycznej.

Sam model Blacka-Scholesa ma charakter analityczny. Zanim więc przystąpimy do przedstawienia całej tej „genealogii”, poświęćmy nieco czasu właśnie modelowi Blacka-Scholesa.

1

Jest to najbardziej analityczny z wszystkich rozdziałów tej książki. Staraliśmy się ograniczyć matematykę do minimum, jeśli jednak czytelnik stwierdzi, że grozi mu, iż w niej ugrzęźnie, niech tylko przejrzy te strony i przejdzie od razu do rozdziału 14. Rozdział niniejszy opiera się na dwóch artykułach: Charles Smithson, Wonderful Life, „Risk”, 1991, oraz Clifford Smith, Option Pricing: A Review, „Journal of Financial Economics”, 1976.