Zarz Ryz Finans R1384

384 Zarządzanie ryzykiem finansowym

dV_H = r — Sdt - (rĆ)dt (13.8)

Porównując natomiast ze sobą prawe strony równań 13.5 i 13.8, dostajemy:

f=^rC-^ri¹-ł t? ^(SV) ⁽¹³-⁹⁾

Jesteśmy już blisko celu. Chcemy bowiem uzyskać wzór na wartość opcji kupna, a równanie 13.9 przedstawia zmianę wartości opcji w czasie - co matematycy nazywają równaniem różniczkowym. Musimy przejść od tego równania różniczkowego do równania na wartość opcji kupna, tzn. rozwiązać różniczkowe równanie 13.9 ze względu na wartość opcji kupna.

Jak wskazano w tekście w ramce, aby wyprowadzić wzór na wartość opcji kupna, musimy mieć jakiś warunek brzegowy, który wiązałby nasze wyrażenie na zmianę wartości opcji kupna. Tym warunkiem brzegowym, pozwalającym rozwiązać równanie różniczkowe, jest warunek, który przedstawiliśmy w rozdziale 12: w dniu wygaśnięcia opcji jej wartość musi być równa różnicy pomiędzy ceną akcji a ceną wykonania (S* - X) lub też zeru, jeśli ta różnica jest ujemna³:

C* = max [5* -X, 0] (13.10)

Tak więc wartość opcji kupna można otrzymać, rozwiązując równanie 13.9 przy warunku brzegowym danym równaniem 13.10.

Zanim przejdziemy dalej, zauważmy, że rozwiązanie bez względu na swoją postać musi być funkcją pięciu zaledwie zmiennych: ceny akcji (5), ceny wykonania (X), wariancji (o²), czasu (/) oraz wolnej od ryzyka stopy zwrotu (r) - ponieważ tylko te zmienne pojawiają się w naszym problemie.

Zmierzając do rozwiązania różniczkowego równania 13.9, Black i Scholes zauważyli, że można je przekształcić do postaci dobrze znanej fizykom - w równanie wymiany ciepła. Zgadujemy jednak, że nieliczni tylko czytelnicy są obeznani z tym równaniem, toteż bardziej użyteczna i pouczająca powinna się okazać pewna bardziej intuicyjna technika ’.

W celu rozwiązania równania różniczkowego cząstkowego (równania różniczkowego dla funkcji więcej niż jednej zmiennej) konieczne jest, ogólnie biorąc, jedno równanie brzegowe dla każdego wymiaru. Równanie 13.10 jest warunkiem brzegowym dla wymiaru czasu. W wymiarze ceny akcji warunkiem brzegowym jest to, że jeśli cena akcji jest równa zeru, cena opcji kupna także jest równa zeru. Ponieważ jednak zakłada się wprost, że rozkład cen opcji kupna jest loga-rytmiczno-normalny, cena akcji nie może być równa zeru, a zatem warunek brzegowy nigdy nie będzie wiążący i dlatego można go w tym szczególnym przypadku zlekceważyć.

¹W sprawie dow'odu matematycznego tej techniki rozwiązania zob. Friedman (1975), zwłaszcza s. 148.