Zarz Ryz Finans R1391

1 3. Taksonomia modeli wyceny opcji 391

gdzie k oznacza częstotliwość skoków, k - średnią wielkość skoku wyrażoną w stosunku do ceny akcji,rjest równe r-kk + {n[/n(l + k)]}/T, a <x jest równe ó²+ no², przy czym a^: jest wariancją rozkładu skoków.

W 1982 r. Robert Jarrow i Andrcw Rudd analizowali przypadek, w którym zmiany cen przebiegają zgodnie z procesem dyfuzyjnym, lecz niekoniecznie prowadzącym do rozkładu logarytmiczno-normalnego. Badali wpływ, jaki na wycenę opcji wywiera odchylenie faktycznego rozkładu od rozkładu logarytmiczno-normalnego, uwzględniając zmianę wariancji, asymetrię i kurtozę. Ogólnie rzecz biorąc, gdy końce rozważanego rozkładu są „grubsze” lub „cieńsze” od końców rozkładu logarytmiczno-normalnego, wzór Blacka-Scholesa bądź zaniża, bądź też zawyża wartość opcji. Jarrow i Rudd zaproponowali poprawkę do modelu Blacka-Scholesa uwzględniającą rozbieżności pomiędzy momentami rozkładu logarytmiczno-normalnego i faktycznego.

W 1987 r. we wszystkich trzech głównych akademickich czasopismach finansowych ukazały się prace zawierające to samo uogólnienie modelu Blacka-Scholesa. Modele wyceny opcji zaproponowane przez Johna Hulla i Alana White’a, Louisa Scotta oraz Jamesa Wigginsa zgodnie dopuszczały możliwość, by sama zmienność cen podlegała procesowi stochastycznemu.

Rozszerzenia modelu Blacka-Scholesa

Jak zaznaczyliśmy na początku, model Blacka-Scholesa miał służyć do wyceny europejskich opcji kupna akcji. Nic dziwnego, że dalsze badania zmierzały do wyceny opcji na aktywa pierwotne inne niż akcje oraz opcji amerykańskich. Ilustracja 13.6 przedstawia drzewo genealogiczne modeli wyceny opcji, w którym plemię modeli analitycznych jest uzupetnione o ród rozszerzeń.

Opcje na kontrakty futures. W 1976 r. Fischer Black rozszerzył model opracowany wcześniej z Myronem Scholesem, obejmując nim opcje na kontrakty futures:

C = XN-

F-j

In (§)

+ (X+f)T

ajf

- e-*^TX*N-

/n(|) +(*-f)r aVT

(13.18)

gdzie F oznacza cenę kontraktu forward (futures).

Opcje walutowe. W roku 1983 Mark Garman i Steven Kohlhagen zaproponowali analityczny model wyceny europejskich opcji walutowych, posługując się metodą analogiczną do zastosowanej przez Mertona w celu wyceny europejskich opcji przynoszących dywidendę: