348 2

348

8. Równania różniczkowe

(b)    Ulepszyć wartość y₃ używając wzoru Adamsa-Moultona (8.3.11) obciętego ^_ składniku z drugą różnicą. Startując od tej wartości, obliczyć y* z wzoru Adamsa-BaS fortha. obliczyć f_Ą i ulepszyć y_Ą za pomocą wzoru Adamsa-Moultona (technika polacyjno-interpolacyjna, § 8.3.4). Ulepszyć y\ inną metodą iteracyjną.

(c)    Jaka jest w przybliżeniu prędkość zbieżności iteracji z (b)?

8.4. Szkic metod rozwiązy wania zagadnień brzegowych i własnych dla równań różniczkowych zwyczajnych

8.4.1. Wstęp

W § 8.4 rozważymy przede wszystkim zagadnienia brzegowe dla skalarnego równania różniczkowego rzędu drugiego

(8-4.U    /'-/<*. 7./)

z warunkami brzegowymi

(8.4.2)    y(o)=*.    >-(6)=^.

Założymy, że funkcja/ma wszystkie pochodne cząstkowe ciągłe w przedziale domkniętym [a, 6]. Podane pomysły można zastosować do innych rodzajów równań i innych typów warunków brzegowych, np. takich:

Poy{ł>)+Pi y'(b)=p₂.

Opisujemy najpierw dwie metody — metodę strzałów i metodę macierzy wstęgowej. Wspominamy krótko o ważnym, tzw. wieiocełowym, wariancie metody strzałów. W §§ 8.6.4 i 8.6.5 rozważa się pewne inne metody dla równań różniczkowych cząstkowych - ⁿP-metodę kollokacji i metodę Galer kina. I te metody można stosować do równań różnic kowych zwyczajnych.

W przeciwieństwie do zagadnień początkowych, można oczekiwać, że zagadnień^ brzegowe ma wiele rozwiązań albo w ogóle nie ma rozwiązania; por. zagadnienie własoe zbadane w § 8.4.3.

8.4.2. Metoda strzałów

Z równaniem (8.4.1) wiąże się również zagadnienie początkowe:

(8.4.3)    y"=f(x>y>y'),    y(fl)*=a,    >'(<»)=7-

Jeśli z jest ustalone, to wartość funkcji y w^r punkcie x=b można uznać za funkcję funkcję g(y). Zagadnienie brzegowe (8.4.1), (8.4.2) można więc wyrazić jako rówBwMr

(8.4.4)