CCF20090601015

V

V

12. Wyznaczyć kilka początkowych wartości rozwiązania równania różniczkowego

+ 3— = 4y e^_3v dla warunków początkowych:j>(0) = 1, j’(0) = 0,>•”(()) = -1 metodą otwartą

d²y . - dy

dx³ dx Eulera z krokiem h = 0,1.

oj    . ,    .    .    dy    d²y    d*y    dy₍ 3)

dx

Sprowadzamy równanie do postaci wektorowej: y = y₍p, — - y_{2), —— = y_{i), —t- =-

dx    dx    dx

-Y

dx

dx

-4_y₍i, e 3jy₍₂₎

Ax, y)

d_

dy

y< i)

y (2) y (3>

y (2) y (3)

f(x,y)-'£_ja_ky_{k)

d_

dy

>\l>		y <2)
y (2)	—	y (3)
7(3).		.^(1) ^e~^3x
Y		p

-3 y

(2)

, czyli ^- = P(x,y) dx

Algorytm metody Eulera: Y,+i = Y, + P(.v„ y,j h. Warunki początkowe: Y₀ =

1

0

-1

^Y3 = Y₂ +P(x₂,^₂) =

0.974

-0,1874

0.00834

Y, = Y₀+ P(x₀,y₀) =

Y₂ =Y₁+P(x,^₁) =

>'( I )3 A 2)3 A 3)3

y (do
y (2)o	+ 0,1
_W(3)0 _	L
W(1)1
y (2)i	+ 0,1
y <3)i _	i.
y (02
y (2)2	+ 0,1
y (3)2
y (i)3	-
y (2)3	+ 0.1
y (3)3

4 y

(1)0

4^(i)i ^{e 1}    (2)i

y (2)2

y (3)2

4>’<|)2 ^{e 2} “3>^;(2)2

Ąy

W(2)0

W (3)0

e^{_3 v}° -

y (2)i

>^;(3)l

<=y(0) = y_(l)o <=.v’(0)=y₍2)o <=y' (0) =y₍3)o

³>’(2

)0

	■ 1 ■		0		1	di
—	0	+ 0,1	-1	—	-0,1	<= A 2)1
	-1		4-1 -e^-30-3 0		_- 0.6_	<=^(3)1

-3x

y (2)3

1

0.1

0.6

+ 0.1

0,99

-0,16

-0,2737

4-1-e

+ 0.1

-0,1    1 [ 0.99

-0,6 = -0,16

-3 0J _₃.₍_₀₁)J [_o,2737

-0.16 -0,2737

4 • 0,99 • e^-30,2 - 3 • (-0,16)

<=+(!

<=y<2

<=.V( 3

Y₄=Y₃+P(x₃o>3) =

(1)3

•Y (3)3 ,"^3jf3 _

3>’

(2)3

0.974		-0,1874		' 0.9553 "	<=^(1)4
-0.1874	+ 0.1	-0.00834	—	-0.1882	<=yc-)4
-0,00834		4• 0.974-e^-303 -3-(-0,1874)		-0,2063	<= >’(3H

Wartości: funkcji -y = [1; 1; 0.99; 0.974; 0,9553; ...], 1. pochodnej -y’= [0; -0,1; -0,16; -0,1874; -0.1882; ...]. 2. pochodnej-y”= [-1; -0,6; -0,2737; -0,00834; -0,2063,...]

16