CCF20090601015

12. Wyznaczyć kilka początkowych wartości rozwiązania równania różniczkowego

d³y , , dy

+ 3— = 4y e ^3x dla warunków początkowych: y(0) = l,_y’(0) ⁼ 0,y”(0) = -1 metodą otwartą

dx dx

Eulera z krokiem h = 0,1.

_c ,    ,    . _J    ,    .    dy    d²y    d³y dy_{3)

Sprowadzamy równanie do postaci wektorowej: y = >'₍i), — = y₍₂₎, —y = >'₍₃₎, —r = —-— =>

dx ^K dx    dxⁱ dx

dy

(3)

dx

^{+ 3}>(2\ - ⁴>p) ^e; ^3a

My)

						_
d	>0)		>(2)	d	>( 1)
=> — dy	y (2) 7(3).		>(3) f(x,y)-YJ^aky{k) k	=> — dy	>(2) 7(3).

> (2) y (3)

4>(i) ^{e    — 3}>(2)

2⁾-4y_(l)c~^3x 3 y_m

dY

, czyli — = P(x,y) dx

Y    P

1

0

Algorytm metody Eulera: Y,+i = Y, + P(x„ y_t) h. Warunki początkowe: Y₀

Y₂=Y,+P(x₁,y,) =

>(1)1		>'(2)1		1		-0,1
y (2>i	+ 0,1	y (3)i	=	-0,1	+ 0,1	-0,6	=
7(3)1.		4>( 1)1 ^e 1 ~ 7(2)1 _		-0,6		4 • 1 • e^-30,1 - 3 - (-0,1)	-
y (i)2		>(2)2		0,99		-0,16

0,99

-0,16

-0,2737

>'(2)2 >( 3)2

y (3)2

4>( 1)2 ^{e 2} ~³>(2)2

-0,16

-0,2737

-0,2737

4- 0,99- e"^{3 0}’² -3 -(-0,16)

Y₃ = Y₂ + P(x₂, y₂) =

+ 0,1

+ 0,1

<=76

<=7(2

<=7(3

^;y(0)⁼>’(i)o ^:7’(0) =7(2)0 :y”(0) =7(3)0

7 - Y₀ + P(x₀, y₀) -

> (1)0		y (2)o		■ 1 “		0		1	<=7d)i
W (2)0	+ 0,1	y (3)o	=	0	+ 0,1	-i	=	-0,1	<=7(2)1
_> (3)0 _		4>(l)0 ^e ° ^_3>(2)0_		-1		4 • 1 ■ e^-30 -3-0		-0,6	<=7(3)1

0.974

-0,1874

-0,00834

^: 7(1)3 ^: 7(2)3 ^: 7(3)3

	>(1)3		>(2)3
Y4 = Y3 + P(x3 ,y3) =	>(2)3	+ 0,1	>(3)3
	7(3)3.		4>(1)3 ^e ’ - ^3>(2)3

0,974		-0,1874		' 0,9553 "
-0,1874	+ 0,1	-0,00834	=	-0,1882
-0,00834		4 • 0,974 • e“^3 (U - 3 • (-0,1874)		-0,2063

^: 7(1)4 ^: 7(2)4 ^: 7(3)4

Wartości: funkcji-y=[ 1; 1; 0,99; 0,974; 0,9553; ...], 1. pochodnej -y’= [0; -0,1; -0,16; -0,1874; -0,1882; ...], 2. pochodnej -y”=[-1; -0,6; -0,2737; -0,00834; -0,2063, ...]

16