0213

215

§ 4. Najprostsze równania różniczkowe

patrywanym położeniu jest równa y mu¹ i zmniejsza się do 0 przy przejściu punktu M do położenia B. Z drugiej strony, praca A pochodząca od siły F, na drodze MB wyraża się całką [352, (9a)]:

A •= — f mg sia 0 ds

B

(gdzie 5 = '-'AB) lub jeśli przejść do zmiennej 6,

a

A = —mgl f sin 0 dd = —mgl (cos 0—cos a). s

Na podstawie prawa zachowania energii [352] mamy

-i-iw* = mgKcosB—cosa), v *= \gl ^2(cos0—cos a).

_    .    ds dd    .

Ponieważ    l—jr, więc do wyznaczę-

at ut

nia zależności między 0 i / otrzymujemy równanie różniczkowe

— =» |/-2- |/2(cos 0—cos *)

lub równanie

«-i/T. —

r 0    y 2(cos 6—cos a)

w którym zmienne są już rozdzielone.

Całkując lewą stronę ostatniego równania w przedziale od 0 do /, prawą — w przedziale od 0 do 6, dochodzimy do szukanej zależności

04)

, = -La/JL f.......— «-----.

² W 9 % }/2 (cos 0—cos *)

Jednakże otrzymanej całki nie można tym razem wyrazić w postaci skończonej: jak zobaczymy, całkę tę można sprowadzić bezpośrednio do całki eliptycznej pierwszego rodzaju.

Po prostym przekształceniu wzór (14) przybiera postać

dO

j/sin¹ -j <x—sin¹ ~ 0

Oznaczmy siny a = k (0<k<l) i wprowadźmy nową zmienną całkowania <p za pomocą wzorów

(15)    sin -1- 0 — k sin ę>,    ~ cos -Ł 0 dd = k cos ę dtp ;

2 2 2

przy tym jeśli 0 zmienia się od 0 do «, to <p zmienia się od 0 do ir/2. Wtedy

.- «/2 ,-

(16)

= 1P-\    . ^df-, =    n<p,k).

V 9 j \f\-k¹ sin^Ję) V 9

Ponieważ z pierwszego ze wzorów (15) łatwo jest wyrazić q> przez 0, więc zależność / od 0 można uważać za znalezioną.