0209

§ 4. Najprostsze równania różniczkowe

211

skąd wynika, że

.. _ (COSJC+O²

⁹    4

Jest to rozwiązanie ogólne podanego na początku równania. Jeśli dane są dodatkowo warunki początkowe, np. y = 1 dla x = 0, to podstawiając te wartości otrzymujemy od razu C — 1, co prowadzi do rozwiązania szczególnego

_ (1+cos *)*

Jak wspomnieliśmy, można w tym przypadku uniknąć znajdowania uprzednio rozwiązania ogólnego pisząc od razu

7    ■*

[-—■=— fsinxdx, czyli 2(j/y"— 1) = cos*—1 ,

i 1fy    o

skąd

1+cos X .. _ l 1+cos X Y

Często się zdarza, że chociaż równanie (8) nie jest postaci (9), to jednak można je doprowadzić do tej postaci, po czym rozwiązuje się je podanym wyżej sposobem. Takie przekształcenie nosi nazwę rozdzielenia zmiennych. Zmienne można rozdzielić łatwo jedynie wtedy, kiedy współczynniki Pi Q są iloczynami czynników, z których każdy zależy tylko od jednej zmiennej, tzn. kiedy

P (x, y) - P,U) Pi(y) i Q (x, y) = QAx) Q₂(y).

Rzeczywiście, aby rozdzielić zmienne w tym przypadku wystarczy podzielić stronami równanie (12)    P₂(x) P₂(y) dx+ Q,W Qi{y) dy — 0

przez P₂{y) Qi(x). Otrzymujemy w ten sposób

WLdx+&&ldy^0.

P*(y)

2) y sin -j- x dx—cos x dy = 0 .

Równanie ma postać (12) i po rozdzieleniu zmiennych przyjmuje postać

dy.

y

sin +

■ dx.

cos + x 2

Całkując stronami otrzymujemy

lny = — 2 In cosy x+c.

Podnosząc liczbę e do odpowiednich potęg znajdujemy stąd

2e^c

podstawiając jeszcze C 2e^c doprowadzimy rozwiązanie ogólne do postaci

c

1 +COS X

14*