img471 (3)

Tym razem f'(c) < O, a więc Iloczyn po prawej stronie Jest ujemny, skąd wynika, że musi być spełniony warunek

/(*) “ /(*o) < O,

czyli

/W </(*o) (dla x e S+(x₀)).

Tak więc otrzymujemy, że f(x) < f(x₀) dla dowolnego x e S_(x₀) u S+(x₀), co, zgodnie z definicją 1. oznacza, że funkcja / ma w punkcie x₀ maksimum lokalne właściwe.

W przypadkach, gdy spełnione jest założenie (2) albo (3), dowód przeprowadzamy w analogiczny sposób.

Podsumowując, można powiedzieć, że chcąc wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji /, należy:

1)    wyznaczyć dziedzinę tej funkcji, obliczyć jej pochodną i wyznaczyć jej dziedzinę;

2)    znaleźć punkty krytyczne funkcji /;

3)    zbadać, kiedy pochodna funkcji jest dodatnia, a kiedy ujemna;

4)    w punktach krytycznych, w których pochodna

a)    istnieje, zbadać, czy zmienia ona znak; jeśli tak, to określić rodzaj ekstremum (minimum, maksimum);

b)    nie istnieje, zbadać, czy funkcja jest ciągła i czy pochodna zmienia tam znak; jeśli tak, to należy określić rodzaj ekstremum.

PRZYKfAD 3.

Wyznaczmy ekstrema funkcji:

^a)    f(^x) - X⁴ - 8x² + 7;

b) /M

Ad a) Mamy D_f = (—oo, +oo), f'(x) = 4x³ - 1 6x, Df = D_f.

Wyznaczamy teraz punkty krytyczne. Ponieważ Df = D_f, więc funkcja może mieć tylko takie punkty krytyczne, które są miejscami zerowymi jej pochodnej. Zatem:

/'(x) = O <=> (4x³ - 1 6x = O a x e Df) <=> (x = -2 v x = O v x = 2).

Są więc trzy punkty krytyczne. Badamy teraz znak pochodnej: f'(x) > 0 o (4x³ - 16x > 0 a x e Df) <=>

<=>

<=>

|4x(x - 2) (x + 2) > 0 a x g Dj

<=> x e (-2, 0) u (2, +oo);

/'(x) < 0 o x g (-oo, -2) u (0, 2).

Łatwo jest określić, czy w punktach krytycznych jest ekstremum i jaki jest jego rodzaj, jeśli otrzymane wyniki przedstawi się w tabeli:

X	(-°o, -2)	-2	(-2, 0)	0	(0, 2)	2	(2, +oo)
/'W	-	0	+	0	-	0	+
/(*)		minimum lokalne -9	*	maksimum lokalne 7		minimum lokalne -9

Znak 7^ oznacza, że funkcja jest rosnąca w danym przedziale, natomiast znak , że funkcja jest tam malejąca.

Bez trudu dostrzegamy, że w punkcie x₀ = -2 pochodna zmienia swój znak z ujemnego na dodatni, więc jest tam minimum lokalne. Łatwo też to stwierdzić, jeśli zauważymy, że w lewostronnym sąsiedztwie tego punktu funkcja jest małe jąca, w prawostronnym rosnąca, więc w tym punkcie musi być minimum lokalne. Analogicznie rozstrzygamy rodzaj ekstremów w pozostałych punktach krytycznych. Ta funkcja ma więc trzy ekstrema. Możemy to zapisać krótko: /_min (-2) = 9, /max (0) = 7, /_min (2) - -9.

, Df = Dt. Istnieje tylko jeden

Ad b) D_f = (-oo, 0) u (0, +oo), /'(x) =

rodzaj punktów krytycznych, które są miejscami zerowymi pochodnej. Mamy:

A

/'W =0o

/'(x) > 0<=>

x² - 4

= 0 A X G Df

> 0 a x e Df

o(x = -2vx=2),

<=>

x²(x² - 4) >0a xgD

7'

O

<=> X G (-00, -2) U (2, +00)