3893820054

IV-7

H. Toruńczyk, GAL I (jesień 09)

Czynnik (—l)^s po prawej stronie jest niezależny od rozważanej funkcji u\ traktujemy go przy tym jako odpowiedni znak ±, niezależny i od ciała F.

Obierzmy więc za u funkcję uq z lematu 1. Ponieważ liczba c = uo(l, 2,k) jest niezerowa, więc otrzymana równość (—l)^sc = wo(<7(l), ...,a(k)) dowodzi, że znak (—l)^s zależy tylko od permutacji cr, a nie od reprezentacji a w postaci iloczynu transpozycji. □

Wniosek 2. Gdy a G S„ jest iloczynem cykli długości k\,...,k_p, odpowiednio, to Sgn(<r) = (-l)P+^sr=A

Dowód, o jest złożeniem s transpozycji dla s =    — 1), patrz zadanie 3.

Twierdzenie 2. Sgn(<rr) = Sgn(cr)Sgn(r) dla a,r G S„, i analogicznie dla iloczynu większej liczby permutacji. W szczególności, Sgn(<r^-1) = Sgn(cr).

Dowód. Niech a będzie złożeniem s transpozycji, a r złożeniem t transpozycji. Wówczas ar jest złożeniem s + t transpozycji, skąd Sgn(ar) = (—l)^s+t = (—l)^s(—l)⁴ = Sgn(cr)Sgn(r). Dla r := a^-1 daje to równość Sgn(<r^-1) = Sgn(cr), bo Sgn(cr) = ±1 i Sgn(l) = +1. □

Zadanie uzupełniające 1. Gdy wieloliniowa funkcja / : V^k —> F spełnia warunek /(vi,Vfc) = 0 dla ciągów (vj)*₌₁ G V^k mających dwa kolejne wyrazy równe, to jest ona alternująca i antysymetryczna.

Zadanie uzupełniające 2. Przestawieniem dla permutacji a G S„ nazywamy każdą parę liczb (i,j) taką, że 1 < i < j < n i a(i) > c{j). Dowieść, że Sgn((r) = (—l)^p, gdzie p to liczba przestawień dla a.

Zadanie uzupełniające 3. Niech permutacja 7r G Sk+i przeprowadza liczby 1,..., k odpowiednio na / + 1,...., I + k, a k +1, ...,k + l na 1,...,/. Dowieść, że Sgn(7r) = (—l)^kl.

2. Istnienie wyznacznika i jego nowa charakteryzacja.

Przejdźmy do dowodu istnienia funkcji det z p.l.

Ustalmy funkcję / : X^k —* F, gdzie X jest dowolnym zbiorem i k G {2,3...,}, i niech

F(xt,...,x_k) := Y) Sgn(ir)f(x *»(*)) dla xi, ...,Xk £ X.    (3)

7reSfc

Oczywiście F jest funkcją z X^k do F, a także F = ^ttgs Sgn(7r) • (/ o 7r), gdzie dla 7r G Sfc definiujemy bijekcję tt : X^k —> X^k wzorem tv(x\,

Przykład 1. Gdy k = 2, to F(xi,X2) = f(x 1,^2) — f(x2,xi).