3893820056

IV-9

H. Toruńczyk, GAL I (jesień 09)

Twierdzenie 2 (o charakteryzacji wyznacznika, wersja druga). Wyznacznik jest jedyną funkcją AU —* F, która jest unormowana (tzn. na macierzy I*, przyjmuje wartość 1) i jako funkcja wierszy macierzy jest wieloliniowa i altemująca.

Równoważnie: det : AU F jest jedyną funkcją o własnościach i),iii),v),vi).

Dowód. Jak wykazano, wyznacznik ma wymienione własności. Te zaś implikują własności i) — iii), charakteryzujące wyznacznik. (Z zadania uzupełniającego 1 w p.l wynika, że jest tak nawet, gdy własność v) osłabić, rozważąjąc w niej tylko kolejne dwa wiersze.) □

Twierdzenie 3. Wyznacznik zachowa własności od i) do vi), gdy w ich sformułowaniach wiersze zastąpić kolumnami. Obie wcześniejsze charakteryzacje wyznacznika też pozostaną wtedy prawdziwe.

Dowód. Rozpatrzymy tylko własność vi) i jej zmieniony odpowiednik, który oznaczymy przez vi^t). Jeśli macierze A, A' i B pozostają ze sobą w związku opisanym w vi^l), to transponując je otrzymamy macierze pozostające ze sobą w związku opisanym w vi). Stąd |B| = |A| + |A'| na podstawie własności vi) i twierdzenia 2 w §1.2. Rozumowanie w pozostałych przypadkach jest analogiczne. B Uwaga 3. Z (4) wynika, że det(A) = ono22 — ^12^21 dla A G AU oraz

det(A) = ana22a33+fll2fl23^31+®13®2lfl32^—®13«22fl31^—®llfl23fl32^—^12021^33 dla A G AU

Ostatni wzór można łatwo zapamiętać posługując się następującym „schematem Sar-rusa” (dla oszczędzenia miejsca, wyrazy reprezentujemy przez ich wskaźniki):

\ \ \

11	12	13 |	11	12
21	22	23 |	21	22
31	32	co co	31	32
	/

Do 3 x 3-macierzy dopisujemy jej dwie pierwsze kolumny i sumujemy 6 iloczynów wszystkich układów 3 wyrazów, rozmieszczonych równolegle do którejś z przekątnych; każdy iloczyn opatrzony jest zaznaczonym znakiem + lub —

Zadanie 2. Dla zespolonej macierzy kwadratowej A = (ay) przyjmijmy A = (ay). Udowodnić, że liczby zespolone det(A) i det(A) są wzajemnie sprzężone.

Zadania uzupełniające.

Zadanie uzupełniające 1. W każdym z poniższych przypadków dowieść nieosobliwości k x fc-macierzy A: