3893820047

IY-19

H. Toruńczyk, GAL I (jesień 09)

§ 4. Geometryczne zastosowania wyznacznika.

1.    Wyznacznik operatora.

Twierdzenie 1 (i definicja). Niech L G £(V,V) i niech V i W będą (uporządkowanymi!) bazami w V. Wtedy macierze [L]y '■= [L]y i [L]w mają ten sam wyznacznik.

Skalar det([L]y), nie zależący od bazy V, nazywamy wyznacznikiem operatora L i oznaczamy przez det(L).

Dowód. Niech A := [L]_w. B := [L]_v, C := [fff. Mamy B = C^AC, skąd det(B) = det(C^_1AC) = det(ACC^_1) = det(A). (Wykorzystaliśmy twierdzenie Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu). □

Podkreślmy, że wyznacznik przypisujemy tylko endomorfizmom, tzn. operatorom działającym z pewnej przestrzeni do niej samej.

Przykład 1. Niech V = U ® W i niech S będzie symetrią względem U wzdłuż W. W U i W obierzmy bazy ui,...,u_p i wi,...,w₉, odpowiednio. Ponieważ 5(uj) = Uj i S(vfj) = —wj dla i = 1p oraz j = 1 więc w bazie ui,..., u_p, W],..., w_q przestrzeni V macierz symetrii S jest diagonalna, a na jej przekątnej stoi kolejno p wyrazów równych 1 i q równych -1. Stąd det(S') = (—l)^{1 2 3 4 5 6 7 8}, gdzie q = dim(lT). Ćwiczenie. Gdy P € C(V) jest rzutem liniowym, to det(P + Iy) jest potęgą dwójki. Zadanie 1. a) Dla operatorów L\, L2 '■ V —* V ma miejsce równość det(Z-i o L₂) = det(Li) det(Z/2)-

b) Operator L : V —> V jest sobliwy wtedy i tylko wtedy, gdy det(L) = 0.

Mimo prostoty dowodu twierdzenia 1 nie jest oczywiste, jak interpretować wyznacznik operatora. Pełną interpretację podamy tylko w przypadku rzeczywistego ciała skalarów. Okazuje się, że znak wyznacznika det(L) zależy od tego, czy L zachowuje orientację, zaś wartość bezwględna od tego, jak L zmienia objętość brył. Co to oznacza, wyjaśnimy niżej i w rozdziale V.

1

   Orientacja baz uporządkowanych przestrzeni rzeczywistych.

2

Definicja. Bazy V = (vj)^₌₁ i W = (wj)f₌₁ przestrzeni rzeczywistej V nazwiemy

3

zgodnie zorientowanymi, gdy macierz zmiany baz [7]^ ma dodatni wyznacznik.

4

Zadanie 1. a) zgodna orientacja jest relacją równoważności w zbiorze wszystkich

5

uporządkowanych baz przestrzeni V;

6

b)    jeśli baza (uj)^₌₁ jest zorientowana niezgodnie z bazą (vj)*₌₁, a (vj)*₌₁ niezgodnie

7

z bazą (wj)*₌₁, to bazy (uj)^₌₁ i (w,)*₌₁ są zgodnie zorietnowane;

8

c) baza (wj)f₌₁ jest niezgodnie zorientowana z bazą (—wi, w₂,..., w&);