3893820052

IV-5

H. Toruńczyk, GAL I (jesień 09)

§ 2. Istnienie wyznacznika. Wyznacznik jako wieloliniowa i alternująca funkcja wierszy macierzy.

1. Dygresja o funkcjach antysymetrycznych, wieloliniowych i alternujących.

Niekiedy wygodnie będzie na det patrzeć jako na funkcję układu wektorów Vi,.... V* G F^k, określoną tak: det(vi,..., v*) := det(A), gdzie A to macierz o pierwszym wierszu vj, drugim V2, itd. Mówimy też wtedy, że wyznacznik traktujemy jako funkcję wierszy macierzy. (Wiersze są elementami przestrzeni X := F^fc.) By nazwać własności tej funkcji wprowadzimy dwie definicje.

Definicja. Niech X^k = XxXx---xX oznacza iloczyn kartezjański k egzemplarzy pewnego zbioru X. O funkcji / : X^k —* F powiemy, że jest:

alternująca, jeśli f(x\,...,Xk) — 0 dla każdego ciągu (x\,...,Xk) G X^k, mającego dwa wyrazy równe (tzn. takiego, że Xi = Xj dla pewnych i ^ j),

antysymetryczna, jeśli f(xi,..., Xk) = —f(x[, ■■■,x'_k) dla każdych ciągów (xj)^A=1, (a^)^A=1 X^k, z których jeden otrzymano przez zamianę w drugim dwóch wyrazów miejscami.

Wniosek 1. Wyznacznik jest antysymetryczną i altemującą funkcją wierszy macierzy. Dowód. Mówią o tym własności (iv) i (u). □

Definicja. Niech V będzie przestrzenią wektorową. Funkcję / : V^k —* F nazwiemy wieloliniową (lub: /c-liniową, gdy zaznaczyć chcemy wartość k), jeśli jest ona liniowa względem każdego argumentu przy ustalonych pozostałych, tzn. jeśli dla i < k i Vi, ...Vj_i, Vj₊i,..., Vfc G V, funkcja

0(^v) ^:= /(vi,...,Vi-i,v,v_ł+i,...,v*) dla veV

spełnia warunek

0(u + cw) = 0(u) + c0(w) dla wszystkich u, w G V i c G F.

Stwierdzenie 1. Funkcja d :    —> F, która jest wieloliniowa i alternująca jako

funkcja wierszy macierzy, spełnia też warunki (ii) oraz (iii).

Dowód. Warunek (iii) wynika z wieloliniowości. By dowieść (ii) oznaczmy kolejne wiersze macierzy A przez aj, ...,ak i niech B będzie macierzą otrzymaną z A przez dodanie c-krotności jej wiersza a_s do wiersza aj. Przyjmując dla prostoty oznaczeń s = 1, t = 2 uzyskujemy

d(a,,cai+a₂,aa, = c- d(ai,a₁,a₃,...,a_)b)+ d(ai,a₂,a₃,a*) = d(ai, ....a*), co oznacza żądaną równość d(B) = d(A). □