0215

217

§ 4. Najprostsze równania różniczkowe

mi możliwymi uproszczeniami i wzorami przybliżonymi, które sprowadzają się w istocie do odrzucania nieskończenie małych wyższych rzędów. W szczególności wszystkie przyrosty nieskończenie małe rozpatrywanych wielkości należy zastępować różniczkami; jak wiadomo, to również sprowadza się do odrzucania nieskończenie małych wyższych rzędów. Istotny sens wszystkich tych wskazówek najlepiej wyjaśnić na przykładach (patrz ustęp następny).

Tutaj zaś zatrzymamy się jeszcze na wyjaśnieniu tego ważnego faktu, że otrzymane w wyniku wszystkich tych uproszczeń równanie różniczkowe postaci (8)

P (x, y) dx+Q (x, y)dy = 0

bynajmniej nie jest przybliżone, ale zupełnie dokładne (¹)•

Przypuśćmy bowiem, że zastępując przyrosty Ax i Ay przez różniczki dx i dy oraz odrzucając — w razie potrzeby — składniki nieskończenie małe rzędu wyższego niż Ax, otrzymaliśmy równanie (8). Jeślibyśmy nie zrobili tej zamiany, to zamiast dxidyvt równaniu (8) mielibyśmy Ax i Ay. Przywróćmy ponadto wszystkie odrzucone nieskończenie małe wyższych rzędów i ich sumę—po przeniesieniu na prawą stronę — oznaczmy przez ot; oczywiście jest ona również nieskończenie małą rzędu wyższego. W ten sposób rozumując ściśle otrzymaliśmy nie równanie (8), ale równanie

P {x, y) Ax+Q (jf, y) Ay = ot ,

które jest już całkowicie dokładne. Dzielimy teraz to równanie stronami przez Ax

P(x, y)+Q(x,y)

Ąy_ ₌

Ax

Ot

Ax

przechodzimy do granicy przy Ax zmierzającym do 0. Ponieważ wtedy itofaz <x/Ax również zmierza do zera, więc ostatecznie w granicy otrzymamy równość

nx,y)+Q(x,y)y’ = 0 lub P(x, y)+Q (x, y) = ₀,

dx

identyczną z równaniem (8). Równanie (8) jest więc dokładne.

Chociaż przy zwykłej metodzie układania równania nie uciekamy się w sposób jawny do przejścia granicznego, to jednak w rzeczywistości wykonujemy to przejście wtedy, kiedy odrzucamy nieskończenie małe rzędów wyższych i zastępujemy przyrosty różniczkami.

Zwracamy uwagę czytelnika na to, że wcale nie twierdzimy, że każde odrzucanie nieskończenie małych wyższych rzędów prowadzi do wyniku dokładnego. Jedynie w tym przypadku, kiedy odrzucanie doprowadzone jest „do końca”, w wyniku czego otrzymujemy równanie (8), liniowe i jednorodne względem różniczek, można juz ręczyć za jego dokładność (i znów analogia z tym, co powiedzieliśmy w ustępie 348).

361. Zadania. 1) Wzór barometryczny. Postawimy sobie za zadanie ustalenie zależności między wysokością A (w metrach) nad poziomem morza i ciśnieniem p (w kg/m²).

Rys. 52

Wyobraźmy sobie na poziomie morza przekrój poziomy o polu 1 m² i rozpatrzmy slup powietrza nad tym przekrojem. Ciśnienie p powietrza na przekrój tego słupa na wysokości A zależy wprost od wagi tej części słupa, która znąjduje się nad wspomnianym przekrojem. Zwiększenie wysokości A o nieskończenie małą wielkość dh powoduje zmniejszenie o dp — ciśnienia. Zmniejszenie to mierzy się wagą warstwy powietrza między płaszczyznami na wysokości A i h+dh (rys. 52)

—dp — s dh ,

gdzie s oznacza wagę (w kg) 1 m³ powietrza przy ciśnieniu p. Zaniedbujemy przy tym to, że w rzeczywistości s zmienia się przy przejściu w rozpatrywanej warstwie od dolnego przekroju do górnego. Z prawa Boyle-Mariotta łatwo

1

Jest to analogiczne do tego, co powiedzieliśmy w końcu ustępu 348 o równaniu dQ = q (x) dx.