374 2

374

8. Równania różniczkowe

Dla uproszczenia przyjmiemy w dalszym ciągu, że

K=cp.

Warunki brzegowe można wyrazić na wiele sposobów, zaieźnie od symulować syluacji fizycznej. Tutaj założymy, że temperatura w punkcie x=0 jest dana dla każde' chwili / wzorem u(0. /)= 1000 sin (f*/) i że w punkcie x-2 przepływ ciepła w ogóle nie występuje. Matematycznie rzecz biorąc, oznacza to, że (dufdx) (2, /)=0. Przyjmiemy te/ warunek początkowy «(*, 0) = 1000 sin J**.

Pierwszy warunek brzegowy łatwo wprowadzić do równania (8.6.3); mamy ^_{0i =} = 1000 sin ®irij. Jednym ze sposobów uwzględnienia drugiego warunku brzegowego jest wprowadzenie nowego punktu x_N+x: wtedy

tl y + | j ** W y . | :

0= — (2_t tj)ss '    ■■—czyli u*.i.j dla każdego .

CK    Zn

Ponieważ w*__lt0 jest znane i u_{A +}, ₀ = «*_i.o. więc jest jasne, że możemy teraz z (8.6.3) obliczyć ił(jC|, tj) dla dowolnych i, j. Przyjmując, że h=\ i &//r =‘ (tzn. k= ~), otrzymujemy następujący prosty algorytm:

(8.6.5)    «*./+*-ł(Kł-i₁/+Mi-*«,j>    7*0.1, ...).

®—o—©    Jj

o    I

Rys. 8.6.3

Rysunek 8.6.3 ujmuje ten wzór schematycznie. Dla powyższych wartości k i h warunki początkowe i brzegowe przybierają postać

u_w= 1000 sin— Ki. u_0J = 1000 sin~Kj,    u_9j = u_v.

Wyniki obliczeń można uporządkować jak w poniższej tablicy; zaleca się czytelnikowi,., aby ją uzupełnił.

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	000	195	383	555	707	832	924	981	1000	981
1	258	192	375	545	694	816	906	962	981	962
2	500	316	368	534	630	800	889	944	962	94a
3	707	434	425
4	S66