378 2

378

8. Równania różniczkowe

h. Załóżmy^ 2®

jest ograniczony odcinkami linii prostych, równoległymi do osi układu lub twór ^ z nimi kat 45^c - zob. rys. 8.6.5. W literaturze specjalnej rozważa sie nawet    .^v“^inł

Rozważmy siatkę kwadratową z oczkami o boku A, tzn. z k

noległym pecjalnej

kąt

woljniowe; zob. np (zob. § 7.7.2), otrzymuje się równanie różnicowe

się nawet obszary bzv

Smith [123], str. 139. Aproksymując laplasjan P² wyrażeniem F^ł

(8.6.9)

Ponieważ użyte tu przybliżenia pochodnych mają błąd lokalny obcięcia 0(h²\ jeśli uec* więc można oczekiwać, że błąd obcięcia dla rozwiązania jest rzędu 0(h³) i że można stoi sować ekstrapolację Richardsona. Zależy to jednak, ogólnie rzecz biorąc, od warunków brzegowych.

Rys. 8.6 5

Ponumerujmy węzły siatki jak na rys. 8.6.5 i utwórzmy wektor

“ = («|.«2.....U:»)^T

szukanych wartości funkcji. Parę liczb całkowitych zastępuje teraz numer węzła. Równanie różnicowe można więc napisać w postaci

Au—

Dla prostoty ograniczymy rozważania do tzw. zagadnienia Dirichłeta, w którym na brzegi obszaru dane są tylko wartości funkcji u. Jest prawdą, że

1.    Wektor /składa się częściowo z wartości fy i częściowo z wartości u na brzeg¹-

=0. Wynik³

2.    Wszystkie elementy przekątniowe w A=(c_w) są równe — 4.

3.    a^- 1, jeśli punkt p sąsiaduje z punktem g. W przeciwnym razie a„

stąd, że a„=a_qpt tzn. ic macierz ,4 jest symetryczna.    SHMl

4.    Żaden punkt nie ma w^rięcej niż czterech sąsiadów. Struktura macierzy A jc*t wi ^ na rys. 8.6.6, na którym linie równoległe do głównej przekątnej wskazują położeń# mentów niezerowych. Oczywiście jest macierzą wstęgową.

W konkretnym, już rozważonym przykładzie z 28 punktami (rys. 8.6.5) jest \q-p >t. Dwukrotne zmniejszenie h powoduje w^r przybliżeniu dwukrotne rozsz*