350 2

350

8. Równania różniczkowo

tera >(0). Układ jest nieliniowy, jeśli pierwotne równanie różniczkowe jest niełin' Można tu stosować techniki z § 6.9 nie wymagające użycia pochodnych. (Możliwe * ’ * też użycie metod korzystających z pochodnych, ale trzeba wtedy rozwiązać równani^' wariacyjne dla układu y' = /(/, y): zob. § 8.1.2).

8.4.3. Metoda macierzy wst^owej

Podzielmy przedział [a> ó] na m równych części i przyjmijmy, że (b-ajjm-h, x = = a+ih. Niech >i oznacza szukane przybliżenie wartości yfo). We wszystkich równaniach różniczkowych i warunkach brzegowych zastąpmy pochodne ilorazami różnicowymi jak w § 8.3.7:

y*+iz^y*-'

2 h

... _x ~~2y_m+y*-t

y M* _h, - •

Równanie różniczkowe przekształca się wtedy na równanie różnicowe, z którego wynika na ogół nieliniowy układ równań:

v_n-1-2y„ +>•.-, =h²j„    (n= 1.2.....ni-1).

ym=P’

gdzie

, J JWi-y.-A

W symbolice macierzowej jest to równanie (8.4.5)    ■4y=h*f<j)-r.

gdzie

		-2 1	0 .	. 0	0		r
		1 -2	1 .	. 0	0		0
(8.4.6)	A =	0 1	-2 .	. 0	0	. r =	0
		^0 0	0 .	. 1	— 2_

Macierz A jest w^łięc macierzą wstęgową (a ściślej, w tym przykładzie, t rójprzek ą t ni ową-Jeśli równanie różniczkowa jest liniowa, to układ równań jest liniowy i trójprzekątnićWft a więc można go rozwiązać bardzo tanim kosztem. Zauważmy, że macierzą układu ( • nie jest A, gdyż/zależy od >* lub /.

Dla błędu, także w przypadkach nieliniowych, mamy wyrażenie

(8.4.7)    y(x.h)=y(x)+c_i(x)h^z+c₂(x)h* + ...

Pozwala to użyć ekstrapolacji Richardsona z nagłówkami jzf, y_fA_> •••