247 2

247

6.9. Układy równań nieliniowych

k    i)_Sf(x) i gdzie układ f(x,0)=O jest latw7 do rozwiązania. Rozwiązanie

^^ie,. x równania (6.9.10) wyznacza się dla ciągu rosnącego wartości Ar_o=0, *i. *a» ••• ^x" ^ _ i pjerwsze przybliżenie x₀(k_t) otrzymuje się z poprzednich wyników* np.

fif.U)    x_Q(k_i)=x(k_{__l)

Lub, jeśli «'^2. za pomocą ekstrapolacji liniowej

(6.9.12)

k_t &,•_ i A'ł-i — ki-2

Wielkość kroku Aj—Aj-i powinno się dobierać automatycznie - liczy się ogólną liczbę iteracji, a nie liczbę kroków (•). Tę technikę można połączyć z dowolną wcześniej opisaną metodą. Zauważmy też możliwość użycia tej samej macierzy Jacobiego w widu kolejnych krokach. Zanurzanie ma ważne zastosowania w układach nieliniowych, które powstają, gdy nieliniowe zagadnienia brzegowe rozwiązuje się metodami różnicowymi lub metodą elementu skończonego; zob. § 8.4 i 8.6. Można też go użyć w optymalizacji nieliniowej; żeb. § 10.5.4.

W zasadzie, zanurzanie można osiągnąć, przyjmując, źc /(*, k)=skf(x)+( 1 -k)g{x)_y

gdzie g(x) jest funkcją o znanych zerach. Funkcję f{x, k) można często wybrać trafniej, jeśli układy, które należy rozwiązać dla krf 1, także dają pojęcie o rozwiązaniu układu f(x)~Q. W elastyczności ta technika jest znana jako metoda obciążania przyrostowego, gdyż wartość k—0 może odpowiadać nie obciążonej konstrukcji, dla której rozwiązanie jest znane, a A= 1 odpowiada aktualnemu obciążeniu. Tę technikę nazywa się też metodą kontynuacji.

Niekiedy zaleca się zróżniczkować układ (6.9.10):

SL.^₊K,₀.

dx dk dk

skąd

dk \Sx) dk

fnzwala ^xx&f£ jednej z metod numerycznych rozwiązywania równań różniczkowych ' ^rozdzial 8). Nie jesteśmy jednak przekonani o wyższości tego postępowania nad zasto-baniem wzorów (6.9.12).

teoretyczny wykład metod rozwiązywania układów nieliniowych znajduje Ortegii Rheinboldta [32).

jakieś    nx>5ą sprawiać punkty osobliwe funkcji x ijt) wymagające zmiany rc-dziuy f{x, k) lub

innych specjalnych sposobów postępowania.