243 2

243

6.9. Układy TÓwnań nieliniowych

6.9. Układy równań nieliniowych

\tfiele przedstawionych tu metod rozwiązywania pojedynczych równań nieliniowych da się uogólnić na układy takich równań. Będziemy rozważać ogólnie układ n równań nie-iimowych z n niewiadomy i:

(&9.1)    fl*u*z.....^x*)=°    (*"=1, 2,....n).

6.9.1. Iteracje

Jednopunktową metodę iteracyjną dla rozwiązywania układu (6.9.1) można zbudować, pisząc go w postaci

⁼ $*«(x i żz»... i jc„)    (i=!, 2,..., n),

sugerującej metodę

x?⁺¹>-rtx[^k\,*?>) (I-1.2_S...,»).

Formalne podobieństwo do przypadku n = ł stanie się bardziej widoczne, gdy wprowadzimy oznaczenia wektorowe:

*=(*i > x₂,..., xJ^T.    ę> (x)=(fj(x), p₂(»).....?_n(x))^T.

Wtedy metodę iteracyjną można napisać tak:

(6.9.2)

x^t*^+l,=ą>(x^w)    (*=0,1,...)

Dla tej metody można też podać kryterium zbieżności podobne do sformułowanego w twierdzeniu 6.5.1. Załóżmy, źex=?(x) i że pochodne cząstkowe

ćę>i(x)

istnieją dla xeR, gdzie R = {x: ||x-«||</?}. Niech D(x) będzie macierzą nx u o elementach dfj(x). Wtedy warunkiem wystarczającym zbieżności metody iteracyjnej (6.9.2) dla każ-^9° Xq 6 R jest nierówność

^•⁹-3)    ||D(x)||«m<] (xe.R)

spełniona dla jakiejś normy macierzy. Mówimy, źe p w przypadku (6.9.3) jest odwzorowa-^niein zwężającym, gdyż wtedy dła dowolnych x,yeR zachodzi nierówność ||ę»(x>-

Warunkiem koniecznym zbieżności metody (6.9.2) jest to, aby promień spektralny (zob. ? 5.6) macierzy D(a) byl nie większy od 1. Prędkość zbieżności zależy liniowo od m i mamy

nierówność

|f**⁺ —a|| = ||*(x<^k')-«K«)||<i»||jcW-«||    <* = <>>1,...).

^ wielu ważnych zastosowaniach rozwiązuje się układy postaci x~ a+ hę(x).