220 2

220

6. Równania nieliniowe

W praktyce a oczywiście nie jest znane i powyższe kryterium jest trudno sprawd • Często zresztą nic warto trudzić się wcześniejszym badaniem zbieżności., gdyż ewentnaj^ rozbieżność szybko wykrywa się w iteracjach. Pomższc twierdzenie, przytoczone tu dowodu, daje praktyczne kryterium zbieżności (dowód podaje Ostrowski (83], rozdział 7)

Twierdzenie 6.3.1. Niech x_Q będzie przybliżeniem początkowym i niech x_m i h beda określone zgodnie z (6.3.1). Oznaczymy symbolem I₀ przedział'ml U₀. .v₀-r2h^). Zalóżmv_yże

2|A₀|M<|/'(jr_o)|.

M = max|/"(x)|-

x e Jo

Wtedy x„ e I₀ (n = 1, 2,...) / lim x„=x, gdzie a jest jedynym pierwiastkiem równania f(x) =. o w /₀.

Inne kryterium, które niekiedy łatwiej zastosować, jest zawarte w poniższym twierdzeniu.

Twierdzenie 6.3.2. Załóżmy. że    że f'\x) nie zmienia znaku w przedziale

[a,b] i że f(a)f(b)< 0. Jeśli

JUD

f\0)

<b-a,

/(*)

m

<b-a.

to metoda Newtona jest zbieżna dla dowolnego przybliżenia początkowego x₀ e [a, 6]. Prawdziwość twierdzenia wynika łatwo z rys. 6.3.1.

Ćwiczenie. Zaprojektować przykład, w którym metoda Newtona jest rozbieżni choć równanie ma pierwiastki rzeczywiste.

zastosować metod?

Przykład 6.3.3. Aby obliczyć c^i,f, gdzie p= ±1, ±2,..., można Newtona do równania J {x)=x^r—c—0. Ciąg x_x, jc₂, ••• oblicza się rekureneyjnie z W2S0^|

x$-c

x„*i=Xn--

P<