328 2

328

8. Równania różniczkowe

1.    Wyrazić układ

/W-y'-z\ z'' = x+z’-f yⁱ

z warunkaitu początkowymi y(0) = 0, y'(0)= I, z(0)= J, r'<0)=0 jako zagadnienie p_OC2ąl. kowe dla układu równań rzędu pierwszego.

2.    Obliczyć >’(!)— r(I), gdzie

y=-y,    y(0)=l.

z' — —1.01 z,    z (Oj=0.99

i porównać wynik z oszacowaniem, które można otrzymać z twierdzenia 8.1.3,

3. (a) Niech /f=(cr_fj) będzie macierzą rzeczywistą, a fi^(A) — normą logarytmiczną określoną za pomocą normy maksymalnej. Wykazać, że

/r_xM) = max{a_j(-+ £ |<»y|). i    J.Jtt

(b) Obliczyć exp (||.4||.J i c.xp (A)) dla

-»]■    W

8.2. Metoda Kolera z ekstrapolacją iterowaną Richardsona

Najprostszą metodą przybliżoną dla zagadnienia początkowego (8.1.2) je.'t metoda Eulera, czyli metoda siecznych. już przedstawiona w rozdziale 1. Przedział [a, ń] dzieli się na podprzxdziały o długości li za pomocą punktów x_l—a+ik oraz przyjmuje się >^,o ^{= c} i szuka przybliżeń    wartości dokładnych >*(*1), y{x₂).....aproksymując po

chodną w punkcie (x„, y„) za pomocą ilorazu różnicowego (y„+₁ -y.Jlh. D«je to równanie różnicowe

h

lj. wzór rekurencyjny

18.2.1)    y_H+, = y„ r h/{x„, y„),    y₀ = c.

Nie jest tu istotne, czy funkcja /jest skomplikowana, czy nie. Ograniczymy się jednak przedstawienia prostego przykładu.

Przykład 8.2.1.

dy

(8.2.2)    — = v, y(0)= 1.

dx

Metoda Eulera daje wzór y_a+t    y₀= 1.