1388457469

64 Andrzej Szlęk

8.5. Warunki brzegowe

Przedstawiony układ równań różniczkowych opisujących ustalony proces spalania w złożu nieruchomym jest układem drugiego rzędu, a drugie pochodne udziałów gramowych oraz temperatury występują w sposób niejawny w członach opisujących strumienie dyfuzyjne. W konsekwencji do

otrzymania jednoznacznego rozwiązania układu potrzebne są dwa warunki brzegowe.

Pierwszy warunek wynika z faktu, że w dostatecznej odległości przed frontem spalania znane są parametry substratów spalania, takie jak skład oraz temperatury, co symbolicznie zapisać można w następujący sposób:

x —> -oo u —► u₀ ,    (8.34)

przy czym symbol u oznacza dowolny parametr złoża (temperaturę, skład itp).

W dostatecznie dużej odległości od frontu spalania po stronie zimnej

można przyjąć, że gradienty wszystkich wielkości dążą do zera, co można symbolicznie zapisać jako:

du

^X —* “°° dx —* °    (8.35)

Warunki (8.34) oraz (8.35) są wystarczające do rozwiązania układu równań. Jest jednak jeszcze trzeci warunek, wynikający z faktu, że w dostatecznie dużej odległości od frontu po stronie gorącej gradienty wszystkich parametrów zanikają, co można wyrazić symbolicznie w następujący sposób:

x —► oo--> 0    (8.36)

Warunki (8.34), (8.35) oraz (8.36) są identyczne z warunkami podanymi w [4], wprowadzonymi dla potrzeb analizy propagacji frontu spalania w mie-

Model matematyczny

szańce gazowej. Rozwiązanie nietrywialne może spełnić wszystkie trzy warunki brzegowe jedynie przy jednej określonej wartości prędkości przemieszczania się paliwa, przy zadanej prędkości przepływu powietrza, lub przy jednej prędkości powietrza przy zadanej prędkości paliwa. Podobnie jak w przypadku propagacji frontu spalania w mieszance gazowej układ warunków brzegowych implikuje poważne trudności w rozwiązaniu numerycznym. Zadanie bowiem należy do klasy zagadnień odwrotnych, które są ze swej natury źle uwarunkowane numerycznie. Oznacza to, że małym zmianom parametrów wejściowych odpowiadają duże zmiany parametrów wynikowych.

Z oczywistych względów rozwiązanie numeryczne prowadzi się w przedziale skończonym {xi]x₂), przy czym na końcach przedziału, jeżeli jest on dostatecznie długi, można przyjąć takie same warunki brzegowe jak dla przedziału (—00; +00). Niemniej jednak warunki brzegowe nie określają punktu w przedziale, w którym stabilizuje się front reakcji, a zatem może się on stabilizować w zasadzie w dowolnym jego punkcie, dostatecznie odległym od końców przedziału, spełniając przy tym wszystkie warunki brzegowe. Podobne zagadnienie analizowano w pracy [18], poświęconej wyznaczaniu normalnej prędkości spalania paliw gazowych. W pracy tej autorzy zdecydowali się narzucić punkt w przedziale o określonej temperaturze. Wówczas zagadnienie sprowadzało się do znalezienia takiej prędkości gazu, przy której rozwiązanie zawiera ten punkt spełniając jednocześnie warunki brzegowe. Autor niniejszej pracy, wzorując się na tym podejściu, wprowadził punktowe źródło ciepła, które ma za zadanie doprowadzić określony przekrój złoża do zadanej temperatury. Zagadnienie sprowadza się do znalezienia takiej prędkości przepływu paliwa, przy której moc źródła jest zerowa. Dokładniej zagadnienie to będzie dyskutowane w dalszej części pracy.